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Collana di fisica classica-Cinematica

Leggiamo una formula

Vi siete mai chiesti perché se i grafici sono tanto comodi, vengono utilizzati così poco rispetto alle formule? Per alcuni magari è semplicemente convenzione, per altri comodità (ci vuole meno a scrivere quattro simboli che disegnare), ma la realtà è che la formula è molto più potente di qualsiasi altro strumento: se io conosco la legge di una funzione sono in grado di costruire qualsiasi grafico e tabella.

I fisici sono gente strana, ma c’è da dire che hanno tantissima fantasia: quei grafici così comodi, loro se li disegnano in testa (o su un pezzo di carta nei casi complicati) solo guardando quei 4 simboli scarabocchiati su un foglio. Si potrebbe dire che guardano formule e pensano grafici (magari non sempre, però mi sento di parlare a nome della categoria).

Grafico di un andamento parabolico della legge oraria

Guardiamo il grafico sopra, avete idea di quanto c’ho messo a disegnarlo (anche se buona parte è colpa mia)? Non sarebbe stato molto più semplice scrivere $$s=t^2$$

Cosa significa quella formula? Sta cercando di dare un’etichetta univoca al grafico di sopra, che non permetta fraintendimenti. Anzitutto partiamo da $=$, che ci indica una relazione tra le due grandezze. Il segreto sta tutto qui in fondo, se con una tabella o un grafico noi abbiamo i valori legati, la formula matematica vi descrive una relazione generale: quando vorrete sapere uno conoscendo l’altro, basterà sostituire i numeri alle lettere e fare qualche calcolo. Chiaramente l’uguale è il simbolo più comune, ma è anche l’unico che vi dà una relazione precisissima: scegliete la $t$? Avrete la $s$! Tra tutte le possibili relazioni che ci si può inventare tra $s$ e $t$, l’uguale è sicuramente il più potente.

Mi spiego meglio con un’altra relazione: $s\gt t$.

Ritorneremo sulla nostra tra poco, ma ora vediamo questi tre simboli con attenzione che cosa ci dicono.
Detto in italiano suonerebbe più o meno così: “quando devi decidere i valori dello spazio $(s)$ e del tempo $(t)$, puoi prendere quelli che vuoi, basta che $s$ sia più grande di $\text{ }t$ “. Mi potreste chiedere allora quali, ed io vi risponderei “Quelli che volete!”. Siamo diventati pieni di libertà, ma non sarebbe più carino avere qualcosa di più definito e meno vago? Capirete perché scrivere = è un porto molto più sicuro!

In realtà sarei potuto essere ancora meno stringente, e darvi ancor meno informazioni. Per esempio avrei potuto sostituirvi l’uguale con il suo opposto, $\ne$

Come sarebbe diventata la nostra funzione? Qualcosa del tipo “quando devi decidere i valori dello spazio $(s)$ e del tempo $(t)$, puoi prendere quelli che vuoi, basta che $s$ sia diverso da $\text{ }t$ “. Praticamente tutti!

Fortunatamente non sono stato così vago, e vi ho dato la relazione tra $s$ e $t$ più potente possibile. Ma quella scritta come suona in italiano? Se avete un po’ di pazienza ve lo direi prima attraverso una tabella, i numeri sono sicuramente più diretti di me.

tempo (ore) spazio (km)
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100

Mi sono fatto prendere la mano e sono andato un po’ avanti con i valori…Guardando la tabella s’intuisce che la formula ci sta dicendo la stessa cosa: “Per ogni istante di tempo $(t)$ che prendete in considerazione, il valore dello spazio $s$ lo avete moltiplicando il valore di $\text{ }t$ per sé stesso.“. E’ un po’ arzigogolato in italiano, ma provare per credere: se scelgo un’ora, ho percorso un chilometro (1×1), se ne scelgo 2 ne avrò percorsi 4 (2×2), mentre se guardo cos’è successo dopo 10 ore so che i chilometri sono 100 (10×10).

Qui si può capire il primo grande vantaggio della formula: usando i simboli matematici riesco ad esprimere un concetto in maniera breve e concisa, che può essere molto più chiara della lingua parlata. E’ vero che però non è affatto immediata, bisogna lavorarci parecchio per prenderci la mano e tirar fuori tutte le informazioni che ci possono servire.

Non vi avrò convinto, e magari non ci sarò riuscito neanche a fine lezione, però c’è un altro grande vantaggio che bisogna considerare: la comodità. Mi spiego, in questo caso sono stato buono ed ho utilizzato numeri semplici (1,2,3,4…), ma scegliendo 1.4, 5.72 o 17.8? Quanto sarebbe stata leggibile la seconda colonna della tabella con 1.96,32.7184 e 316.84? E non è finita qui, perché io vi ho messo i valori fino a 10 ore ma se voi voleste sapere lo spazio dopo 11, 46, 59 e 113? Quanto crescerebbe la tabella? Se guardate bene il grafico sopra, vi renderete conto che non è affatto preciso: dopo vani tentativi di disegnarlo a mano in maniera precisa, mi sono reso conto che era proprio quello che volevo dirvi. Provate a disegnare due cerchi uguali a mano libera (in realtà ne basterebbe anche uno solo preciso) e raccontatemi com’è andata!

In fondo se ci pensate, nel momento in cui avete una formula farete sempre in tempo a riportare i valori su una tabella o su un grafico. Non ci sarà neanche bisogno che li mostriate agli altri: dategli la formula e ci penseranno loro!

La velocità e i differenziali del tempo e dello spazio

Alla fine della prima lezione, ci eravamo lasciati dicendo come si potesse esprimere il concetto di derivata e di velocità usando le formule, quindi oggi in realtà abbiamo poco lavoro da fare. Avevamo detto che con il passaggio al limite possiamo definire la velocità come lo spazio percorso in un tempo piccolissimo, al limite nullo. Se vi ricordate, avevamo detto che in matematica si scrive $$v=\frac{ds}{dt}$$

In questa maniera eravamo sicuri che la velocità non cambiasse nell’istante di tempo che volevamo studiare. Questa formula fa esattamente quello che abbiamo detto la lezione scorsa: noi vogliamo che il nostro grafico sia come una retta nella parte su cui ci stiamo concentrando, e quindi prendiamo rettangolini sempre più piccoli per vedere come cambia e verso che cosa “sta andando”.

Con il linguaggio acquisito prima, noi sappiamo la relazione che lega queste tre grandezze e siamo liberi di usarla come meglio crediamo. Un esempio? Proviamo a trovarci lo spazio percorso: riprendo per un momento l’uso di $\Delta s$ e $\Delta t$ e vi spiegherò perché, a questo punto nessuno mi vieta di dire che: $$\Delta s=v\times\Delta t$$

Ho invertito la formula, per dire che la macchinina percorre in un istante $\Delta t$ tanto spazio quanto è la sua velocità moltiplicata per la durata dell’istante. Fate attenzione su un passaggio molto importante, quanto valgono $\Delta t$ e $\Delta s$? O, detto in altri termini, questi $\Delta t$ e $\Delta s$ a quale grafico, formula o tabella si stanno riferendo? A tutte! Sto usando i $\Delta$ proprio per dire che lo potete applicare ovunque e il discorso rimarrà sempre valido.

Volete sapere perché non vi ho scritto $ds$ e $dt$? Perché non ho la più pallida idea di come farlo! Voi come misurereste una distanza in un tempo così piccolo? Bisogna sempre lavorare con qualcosa che sia gestibile, per esempio io un orologio che misura le frazioni di secondo non ce l’ho, e quindi sono abbastanza limitato. Qui però arriviamo ad un qualcosa che non si spiega quasi mai e finisce sempre per creare una gran confusione: se sfogliate qualche libro di fisica infatti, troverete proprio la scritta $ds=v\times dt$: non abbiamo sbagliato nulla tranquilli, solo che anche i fisici approssimano, e quando scrivono una cosa di questo genere stanno dicendo che sia $\Delta s$ che $\Delta t$ sono molto piccoli.

Quest’approssimazione in realtà è abbastanza comoda per rimanere comunque rigorosi: vi ricordate quanto siamo poco precisi quando il grafico non è dritto ma s’incurva? Tanto più s’incurva tanto meno siamo precisi. Stiamo parlando di generici $\Delta t$ proprio perché vogliamo fare un discorso che valga sempre, ma chi ce lo dice che non abbiamo totalmente sbagliato e non li abbiamo presi troppo grossi? E’ per questo che si crea questa gran confusione di simboli, quando usate $ds$ e $dt$ rassicurate tutti che sono piccoli abbastanza per evitare questi inconvenienti.

Influenza della lunghezza del tempo sulla velocità

Se lo vediamo su un disegno possiamo concentrarci su come la precisione dei nostri calcoli dipenda dalla lunghezza del $\Delta t$ che abbiamo scelto. Se lo prendiamo lungo quanto il rettangolino rosso, la velocità media che stiamo calcolando si discosta molto dalla velocità istantanea. Stiamo facendo un errore che potrebbe non andare bene…Guardate piuttosto come si sovrappone bene il rettangolino blu sulla curva nera! Potrebbe essere una buona scelta non trovate? Tenendo questo grafico a mente, ricordate che se parlate di $\Delta t$, allora potete considerare tempi che possono essere grandi anche quanto il rettangolino rosso (se non di più), quando parlate di $dt$ invece siete sicuri che non potete andare oltre il rettangolino blu.

Sentirete parlare di differenziali, sembrano cose complicate ma sono il modo in cui i fisici chiamanoo i $ds$ e i $dt$ quando vogliono usare quest’approssimazione rigorosa. Non lo andate a dire in giro mi raccomando, perché qualcuno che storce il naso lo trovate certamente: i differenziali, visto che sono legati al limite hanno una lunghezza che si dice infinitesima. Questo concetto però non è molto pratico bisogna ammetterlo, e quindi siete liberi di immaginarvelo come meglio crediate!

L’accelerazione e i differenziali del tempo e della velocità

A questo punto il discorso per l’accelerazione è esattamente lo stesso che abbiamo fatto per la velocità. Nella lezione scorsa abbiamo legato per analogia l’accelerazione e la velocità come la velocità è legata con lo spazio. Quindi mi potete accettare la scrittura $$a=\frac{dv}{dt}$$

Se abbiamo usato il concetto di differenziali e l’approssimazione di cui parlavamo prima, nulla ci vieta di farlo anche con l’accelerazione. E quindi possiamo dire che quando vogliamo vedere un piccolissimo incremento del tempo $dt$, avremo una piccolissima variazione di velocità $dv$ ed il loro rapporto è la nostra accelerazione.

Come vedete ci sono tante definizioni per intendere la stessa cosa, qualcuna più rigorosa qualcuna meno. Spesso le notazioni vengono usate in modi differenti, ma la cosa importante è che abbiate sempre in mente quello che stiamo facendo. Scegliete la strategia con cui vi trovate più comodi e riportatevi sempre a quella.

A questo punto è giunto il momento di gettarvi una formula pesante e qualche elucubrazione più arzigogolata. Se abbiamo capito come $a$ si lega con $v$, e come $v$ si lega con $s$, ma se volessimo legare $a$ con $s$? Praticamente una matrioska! In realtà di problemi non ce ne sono, a questo punto me lo potete spiegare voi a me: calcoliamoci la velocità come abbiamo capito, ma questa volta invece di fermarci soddisfatti andiamo avanti e la usiamo per calcolarci l’accelerazione. Magari è più facile a dirsi che a farsi, però l’idea c’è no? Giuro che non esagero, oggi credo che sia stata la lezione più pesante, ma se volete scrivere questo procedimento in formule? L’argomento oggi sono loro…fatemici sbizzarrire! La scrittura formale è questa:$$a=\frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\right)=\frac{d^2s}{dt^2}$$

Può mettere paura, ma ricordatevi che è solo un modo molto stringato per dire un concetto arzigogolato in italiano. Lasciate stare l’ultima formula a destra e concentriamoci su quella in mezzo, che sto facendo? Partiamo da destra e torniamo a sinistra verso l’uguale:

  • Dentro la parentesi abbiamo il nostro famoso $ds/dt$, che è proprio la velocità. Perché non ho scritto $v$? In fondo non è così importante se abbiamo visto che c’è una formula matematica che dice che sono la stessa cosa.
  • Trovata la velocità, posso calcolare l’accelerazione con la stessa tecnica. Qui magari confonde la notazione, perché la $d$ sopra è vuota e ho questa grossa parentesi accanto a tutto, e non solo a lei? Bella domanda, onestamente non l’ho mai capito, ma credo sia solo per una comododità di scrittura. Se volete potrei anche scriverlo così: $$a=\frac{d\frac{ds}{dt}}{dt}$$ Bruttino no? Poi se lo preferite così non metto bocca!

Per evitare qualsiasi confusione comunque si può scrivere come l’ultima formula a destra destra: $\frac{d^2}{dt^2}$ significa che dovete fare il giochino dei piccoli $dt$ prima con i piccoli $ds$ e poi con i piccoli $dv$.

Ok, ho esagerato vero? Non voglio appesantirvi, quindi a questo punto direi di divderci in due gruppi: chi vuole può seguirmi e fare qualche semplice calcolo con queste benedette derivate, altrimenti potete saltare l’ultima parte e cominciare a mettere in cascina il concetto delle formule: vi assicuro che sul resto ci torneremo, ma queste sono veramente troppo utili per rifiutarle totalmente!

Calcoliamoci qualche derivata

Spero che siate rimasti tutti, ma mi posso accontentare anche solo di qualcuno! La parte più applicata di esercizi è poco importante quando si sta parlando di qualche concetto, ma dà anche un bagaglio tecnico non da poco per consolidare i discorsi. Partendo dalla teoria, risolvere un esercizio può veramente far la differenza tra un’idea fumosa e un concetto ben consolidato.Lo so che quest’ultimo paragrafo sarà infarcito di formule, ma seguendomi e rifacendole possiamo cominciare a giocare con i differenziali e le derivate.

Ho solo l’imbarazzo della scelta, ma abbiamo cominciato la lezione con $s=t^2$ e direi che ora è un candidato ideale! Se sappiamo come lo spazio è legato al tempo, vogliamo trovare una formula che ci descriva la velocità, in modo da disegnare grafici, tabelle e trovare persino l’accelerazione.

Ora stiamo usando le formule, siamo nel campo dei matematici, quindi tutto parte con un $\Delta t$ rispetto ad un istante di partenza (a cui è legato un $\Delta s$) e poi facciamo il limite per avere esattamente la velocità. Cioé il nostro intervallo di tempo che stiamo considerando parte in un generico tempo $t$ (l’inizio del rettangolino blu del grafico di prima ad esempio), e termina ad un tempo $t+\Delta t$ (la sua fine). Se la macchinina ha la possibilità di andare da $s$ a $s+\Delta s$, come lo scriviamo nella formula? $$s+\Delta s=(t+\Delta t)^2$$

Cioé dove avevamo $s$ abbiamo scritto $s+\Delta s$, mentre $t$ è diventato $t+\Delta t$. Se calcoliamo il termine $(t+\Delta t)^2$, sappiamo che è un quadrato di un binomio e quindi arriviamo a dire che $$(t+\Delta t)^2=t^2+2t\times \Delta t+\Delta t^2$$ Rimettendoci pure lo spazio $s+\Delta s$, $$s+\Delta s=t^2+2t\times \Delta t+\Delta t^2$$

Ora magia! Qual è la nostra formula di partenza? $s=t^2$, che ne dite di usarla un attimo? Questi sono i piccoli artifici matematici che sembrano molto il gioco delle tre carte, ma è incredibile come le cose tornano sempre. Mi ricorda tanto un mio compagno alle medie: sapendo il risultato dell’esercizio faceva tutti i calcoli strani e sbagliati, ma all’ultimo passaggio aggiungeva e toglieva numeri pur di farselo tornare. Magari non proprio ineccepibile, ma c’era la stessa genialità! Non divagando oltre, io so che qualsiasi numero si possa assumere, sarà sempre uguale al numero $t$ moltiplicato per $t$: partendo da qui non sbaglio nulla se dove vedo scritto $s$ sostituisco con $t^2$, con i numeri è la stessa cosa no? Cosa succede così? $$t^2+\Delta s=t^2+2t\times \Delta t+\Delta t^2$$

La magia ci fa un bel favore, perché ora il $t^2$ a sinistra dell’uguale si cancella con il $t^2$ a destra, e la nostra formula si avvicina a qualcosa che ci è più utile $$\Delta s=2t\times \Delta t+\Delta t^2$$

Che voi ci crediate o no, il grosso è fatto. L’obiettivo è trovare $ds/dt$, quindi possiamo dividere tutto (dividiamo a destra e dividiamo a sinistra) per $\Delta t$ e trovare che $$\frac{\Delta s}{\Delta t}=2t+\frac{\Delta t^2}{\Delta t}$$

Finito? Quasi…Per quelli che sanno calcolare la derivata, conoscono già che deve venire $2t$, ma a noi avanza quello strano ultimo termine…come facciamo? Semplice, facciamo ciò che ci manca: il limite! Con il limite di $\Delta t\rightarrow 0$, a sinistra possiamo scrivere $ds/dt$, mentre a destra $\Delta t$ diventa 0. Cioè la formula della nostra velocità in questo caso è: $$v=\frac{ds}{dt}=2t$$

Abbiamo finito? Si! Abbiamo le formule che con l’istante ci indicano non solo qual è lo spazio percorso, ma anche la velocità che si ha in quel momento. Provando ad inserire un po’ di valori, ci rendiamo conto che la velocità continua a raddoppiare da un istante all’altro. La cosa è interessante e potrebbe venirci in mente di capire perché sta cambiando in questa maniera. Per farlo calcoliamoci l’accelerazione. Vi rifaccio i calcoli, ma questa volta senza spiegare i passaggi: provate a capire ogni passo guardando come ho ragionato con la velocità sopra $$v+\Delta v=2t+2\Delta t$$ $$2t+\Delta v=2t+2\Delta t$$ $$\frac{\Delta v}{\Delta t}=2$$ $$\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}=a=2$$

In questo caso allora l’accelerazione è costante, cioé la variazione di velocità è sempre la stessa e quindi più passa il tempo più la macchinina va velocemente! Cioé non solo sta accelerando, ma lo sta facendo in maniera costante: questo moto ha un nome, si chiama moto uniformemente accelerato.