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Collana di fisica classica-Cinematica

Cos’è il moto

Ogni domanda che ci poniamo su quello che succede là fuori, come ogni cosa che cerchiamo di capire, nasce dal fatto che il mondo intorno a noi non sta fermo un attimo, ma cambia continuamente. Provate a fare due foto in due momenti vicini e provate a contare le cose che sono rimaste esattamente uguali nelle due foto.Se vogliamo capire che cosa sta accadendo, dobbiamo registrare questi cambiamenti per studiarli e capirli. Quando diventeremo abbastanza bravi, riusciremo addirittura a fare delle previsioni su quello che stiamo guardando, ma per farlo dobbiamo prima stabilire le regole del gioco.

Il più semplice movimento che può venirci in mente è la posizione di un oggetto nello spazio, e tutto ciò che riguarderà il cambiamento della sua posizione nel tempo andrà sotto il nome di moto.

Fin qui è tutto abbastanza semplice, e sono sicuro che le immagini che vi sono venute in mente siano perfettamente calzanti, ma devo chiedervi a questo punto di fare un po’ di semplificazioni, perché in realtà il discorso nasconde delle sottigliezze che vorrei cercare di evitare. La prima cosa che vi chiedo è di non cominciare a considerare oggetti “complessi” (lasciamo stare aerei, cani, madri e via discorrendo), ma concentriamoci solo su un punto. Non vi costa troppa fatica immaginarvelo rosso e appiccicarlo dove volete…Il perché di questa richiesta che suona bizzarra è presto detto: come potrete immaginare tra poco farà la sua comparsa in questo discorso una grandezza come la velocità, ma come ci comporteremmo se volessimo ad esempio misurare la velocità del pensiero? E se volessimo considerare di studiare il moto di un mare in tempesta? Veramente troppo complesso partire da qui, rimaniamo sul semplice al momento, e quando servirà ci complicheremo la vita.

Spero di avervi convinto che non stiamo perdendo tantissimo, se vogliamo metterci al volante di una macchina, basta appiccicare il nostro punto sul cruscotto e non preoccuparci se la velocità nel cofano sia diversa.

La seconda grande richiesta che vi faccio, è che il nostro punto possa muoversi solo in una direzione. Se stiamo in una macchina questo significa che può solo andare dritta in una strada di pianura: niente curve né dossi. C’è una strada in Australia che fa perfettamente al caso nostro: taglia tutta la costa sud ed è lunga non so quante centinaia di chilometri. Quando ci dovremo occupare del moto tridimensionale allora potremo finalmente spostarci in una moto da rally e darci da fare con le nostre misurazioni mentre spicchiamo un salto da un dosso…

Un concetto che già abbiamo chiaro

Ok siamo pronti! A questo punto come studiamo un moto unidimensionale? Potrebbe essere una banalità! Scegliamo come in pista una linea di partenza, misurando spazio percorso e tempo impiegato.

La tabella sotto fa proprio questo: forse la macchina che abbiamo scelto è un po’ lenta, ma alla fine di 10 ore è riuscita a percorrere 30 chilometri.

In realtà, se studiamo quello che stiamo facendo quando guardiamo la tabella, ci rendiamo conto che queste cose le sappiamo già fare. Sono sicuro infatti che se vi dovessi chiedere quanti chilometri fossero stati percorsi dopo 4 ore, voi non avreste problemi a rispondermi 5.4.

Non credo neanche che avreste molti problemi a riportare questi dati su di un grafico, siete d’accordo che verrebbe più o meno come sotto?

In realtà c’è molto più di questo, potrei per esempio chiedervi qualcosa sull’andamento, e voi mi rispondereste che la nostra macchinina se l’è presa comoda fino alla quinta ora, prima di darsi da fare e percorrere ben 10 chilometri in quella successiva. Dopo la settima ha evidentemente rallentato, per poi percorrere quasi 5 chilometri fino all’inizio dell’ultima ora. Stiamo cominciando a parlare del comportamento della distanza percorsa, rispetto al tempo impiegato. Stiamo cominciando ad introdurre il concetto di velocità.

Forse avete sempre visto questa notazione qui sul contachilometri $km/h$, ma per una volta possiamo cercare di essere più eleganti e rigorosi e definire la velocità come: $$\frac{\text{spazio percorso (nella sua unità di misura})}{\text{tempo impiegato (nella sua unità di misura)}}$$

tempo (ore) spazio (km)
1 0
2 1.2
3 3.9
4 5.4
5 7.8
6 17.4
7 21.5
8 23.4
9 28.9
10 30
Rappresentazione grafica della posizione in diversi istanti di tempo

Prima di andare avanti però voglio essere cristallino e togliere qualsiasi tipo di dubbio. Cosa rappresentano i valori dello spazio? Si possono pensare diverse cose ma è essenziale che scegliate la mia. Ricordatevi sempre che questa è una tirannia e decido io! Per distanza percorsa s’intende quanto il nostro punto rosso è lontano dalla nostra partenza. Immaginate che ogni volta che dovete misurarlo, fermiate la macchinina e contate i chilometri che la separano dall’inizio. Vedrete dopo che che pensarla così è essenziale se volete veramente avere le idee chiare.

Non lasciamoci ingannare dal nostro modo di pensare

Vedete che se stabiliamo che il tempo si misura in ore (abbreviato h), mentre lo spazio in chilometri (km), scrivere $km/h$ è esattamente la stessa cosa.

Ora siete perfettamente in grado di dirmi a che velocità è andata la nostra macchinina nella prima, oppure nella sesta (il tratto tra l’ora 5 e l’ora 6, è giusto? Non ho mai capito nulla dei numeri cardinali!), ma qui viene il bello! Forse non lo sapete, ma state facendo un’enorme assunzione che seppur facilita la vita, potrebbe metterci in difficoltà appena entriamo un po’ più nel dettaglio. Alla prima domanda mi rispondereste $0\text{ }km/h$, alla seconda 9.8 ($(17.4-7.8)/1$), ma attenzione perché questo è vero solo se la velocità rimanesse costante per tutto il tempo! Se volessimo ridisegnare il nostro grafico, senza saperlo non solo avete unito i punti, ma avete deciso di farlo, come nella figura sotto.

Il perché è presto detto: siamo tutti dei fannulloni, e se ci si può risparmiare un po’ di lavoro il nostro cervello lo fa volentieri. Per la cronaca, complimenti! Avete fatto la vostra prima approssimazione! Visto che la scienza si fonda su queste, vuol dire che siamo sulla buona strada!

Ora vediamo cosa comporta la nostra approssimazione, e se effettivamente può fare al caso nostro. Se quel grafico dicesse la verità, significa che la nostra macchinina riesce a tenere una velocità perfettamente costante per un’intera ora, salvo poi cambiarla allo scoccare della successiva. Non c’è vento, discesa o autogrill che tenga, decisa la velocità non si può più cambiarla! Non molto realistico, vero?

Rappresentazione grafica dello spazio rispetto al tempo

La realtà è che abbiamo un’idea approssimativa della velocità, e ci sono delle sottigliezze che non ci siamo mai presi la briga di definire.

Mi rifaccio a qualcuno che la fisica la sapeva molto meglio di me nell’esprimere la nostra approssimazione di prima con una scenetta simpatica. Immaginate la scena di una signora in automobile che viene fermata da un vigile, che le dice “Signora, lei sta andando a 60 km/h!”. La signora è prontissima nel rispondergli “E’ impossibile signor vigile, mi sono messa in viaggio da 7 minuti soltanto ed abito dietro l’angolo!”.

Irreali discussioni tra un vigile ed una signora in macchina

Cosa fareste se foste il vigile? Cerchiamo di essere precisi nel definire la contestazione che stiamo facendo alla signora.

Si potrebbe pensare di dirle che con quella velocità in un’ora percorrerebbe 60 km, ma la signora ha già dimostrato di essere furba: potrebbe dirci che non è vietato da nessuna parte di percorrere 60 km in un’ora, in fondo su un’autostrada o su un aereo si percorrono velocità ben maggiori nello stesso tempo.

E se potessimo vedere il tachimetro delle macchine mentre sono in moto, e avessimo visto che quello della signora ha segnato i 60 km/h? Troppo semplice, potrebbe sempre dire che il tachimetro era rotto…

Vediamo come si comporta se cambiassimo il sistema di riferimento della misura dello spazio e della misura del tempo, e le contestassimo che stava andando ad una velocità di $16.\overline 6$ m/s. Risponderebbe, “Si, ma anzitutto il tachimetro non misura questi numeri strani, e in ogni caso non ci sono Leggi che vietano di andare a $16.\overline 6$ m/s”. Questa volta siamo noi ad essere pronti, “Ma è la stessa cosa. La legge non ci vieta di misurare la velocità come meglio crediamo”.

Potrebbe essere la strada giusta, in fondo è vero che la signora ha la possibilità di cambiare la velocità in ogni istante, ma mai le sarebbe permesso di raggiungere quel valore. Il tachimetro, rotto o meno, può segnare qualsiasi cosa ma noi abbiamo visto con l’autovelox che per un momento la signora stava andando a quella velocità.

Forse l’idea dei $16.\overline 6$ m/s potrebbe funzionare: lasciamo andare la signora per un secondo e misuriamo la sua distanza percorsa, se questa è pari a $16.\overline 6$ metri allora una contravvenzione non gliela toglie nessuno.

Cosa stiamo facendo in pratica? Nulla più che scegliere l’unità di tempo che più ci è comoda! Ci siamo resi conto che con un’ora la signora era capacissima d’imbrigliarci con la sua dialettica, ma con il secondo non scappa! Avremmo pure potuto complicarci meno la vita, e dirle che stava andando ad 1 chilometro al minuto, sarebbe stato più semplice coi calcoli forse, ma il risultato non sarebbe cambiato per la signora furba.

E quando neanche il secondo fosse sufficientemente piccolo per i nostri scopi? Possiamo prendere un intervallo ancora più piccolo: maggiore è l’accuratezza della velocità che vogliamo misurare, più piccolo deve essere l’intervallo di tempo che dobbiamo considerare.

Si può dire che stiamo cambiando la scala della velocità, o se volete il nostro sistema di riferimento per misurarla. Questa operazione che crea al massimo qualche difficoltà di calcolo, è la stessa che si compie quando si vuole introdurre uno dei concetti più potenti della matematica. E’ uno dei motivi per il quale Newton è considerato un genio (da piccolo avevo capito solo che lo fosse, ma mai nessuno che si fosse preso la briga di spiegarmi perché), per il calcolo differenziale.

Riscopriamo il calcolo infinitesimale

Torniamo al nostro grafico di prima e datemi la possibilità di collegare i punti in maniera più fantasiosa.

Vi ho tenuto il nostro primo “tracciamento” per semplicità, ma ora concientriamoci sul tratto rosso: che cosa ci dice? Molto più di quello che si potrebbe pensare.

Anzitutto un appunto, se ci fate caso la linea può “salire” o “abbassarsi”, ma mai “andare a sinistra”. Pensando a cosa il grafico sta rapprensentando è abbastanza logico. Salire vuol dire aumentare lo distanza dalla partenza, mentre scendere con la nostra linea significa riavvicinarsi: anche se vi ho chiesto all’inizio di non girare e andare sempre dritto, nessuno ci vieta di tornare indietro (non farei retromarcia in un’autostrada, ma a parte il buon senso e il codice della strada potrei). Con questa idea allora si capisce perché la linea rossa è costretta andare sempre a destra: a meno che non abbiate scelto una macchina del tempo a mia insaputa, ci sono poche possibilità se non quella di procedere avanti nella dimensione temporale. Questo è uno dei tanti motivi per cui dalle superiori in poi siamo tediati sul mettere le freccette sugli assi dei grafici: hanno un significato ben preciso.

Rappresentazione grafica della curva della posizione rispetto al tempo

Terminata la materna raccomandazione andiamo avanti. Sapreste a questo punto leggere il grafico? Direi di si, anzi forse la situazione appare più realistica di quella di prima. La macchinina cambia continuamente la velocità, addirittura tornando indietro per alcuni tratti. Il problema è che ora è tutto più scomodo: definire prima la velocità era una passeggiata di salute, ma ora? Non ho linee dritte che mi fanno essere sicuro, come si fa? In realtà come prima…guardiamo per un attimo il pezzo che ha lo sfondo giallo: magari non lo sarà perfettamente, ma non vi pare una retta? Quindi significa che in quel tratto la velocità è costante e possiamo dire definirla con sicurezza! E’ vero che stiamo approssimando, ma per ora possiamo accontentarci…

Se ora considerassimo la larghezza del rettangolino giallo come la nostra unità temporale staremmo tranquilli per quel tratto, ma per gli altri? E se poi il grafico fosse molto più altalenante con variazioni molto più brusche?

Bene, in questo caso io ragionerei così: cerchiamo in tutto il grafico il tratto che cambia più bruscamente, e scegliamo la larghezza del rettangolino sottile abbastanza da far sembrare il tratto come rettilineo, questa (che nel grafico rappresenta una distanza temporale), è la nostra unità di misura! Può essere 1 ora, 14 minuti, 0.735692374632746 secondi o quello che volete: non importa più di tanto perché al massimo possono venirci numeri più complessi, ma riusciremmo a definire con abbastanza sicurezza la velocità in ogni punto.

Il passaggio al limite e la velocità come derivata

Sappiamo definire la velocità in quasi tutte le situazioni reali, direi in tutte, ma stiamo pur sempre ricorrendo ad un’approssimazione: la scelta della nostra unità di tempo fà si che ogni tratto sembri rettilineo.

Troverete sempre il purista, magari lo siete anche voi, che potrebbe non accontentarsi di tratti che “sembrano” e vogliono qualcosa di più rigoroso. In questi casi ce la si cava con l’inganno! Se mi sente un matematico mi fa chiudere, ma volendo lo si può vedere così: abbiamo visto che se il rettangolino è abbastanza sottile, sul grafico il tratto non riesce a curvare in maniera percettibile e quindi l’impressione è che lui sia rettilineo. Vogliamo essere più precisi? Prendiamo un rettangolo ancora più sottile! Quanto? Il più piccolo possibile! Al limite nullo. In matematica si dice che una linea non abbia uno spessore perché la sua larghezza è nulla, quella può essere la nostra scelta per accontentare qualsiasi rigoroso! Il nostro rettangolino diventa una linea.

Questa operazione si definisce un passaggio al limite: preso il nostro rettangolino, noi lo schiacciamo fino a farlo diventare una linea. Nel punto della curva rossa che stiamo marcando con la linea, noi possiamo definire la velocità in maniera rigorosa. Sarà sicuramente pesante fare tutti questi passaggi, ma vi assicuro che nessuno si può lamentare ora!

A questo punto potremmo cominciare a parlare in linguaggio matematico. Non vi mettete paura davanti alle formule, vi giuro che non mordono: se quello che abbiamo detto finora è chiaro, quello che sto cercando di fare è usare dei simboli per concentrare tutto il discorso in una riga. In fondo è questo il significato delle formule: non perdersi in chiacchiere. I matematici direbbero che se il nostro rettangolino ha una larghezza che vale $h$, lo spessore finale sarà il limite di h che tende a $0$ dello spessore iniziale, nel linguaggio matematico $$\text{(finale)}=\lim_{h \to 0}\text{(iniziale)}$$

Capisco il rifiuto che può esservi, ma non potete negare che $\lim_{h\to 0}$ è più sbrigativo…

E la velocità? In realtà fin qui noi non l’abbiamo definita, abbiamo solo detto quali sono le condizioni per farlo (che il tratto rosso sia rettilineo). Stiamo cercando anche per questo un simbolo che riassuma tutto il ragionamento nella maniera più veloce possibile. Nella nostra prima approssimazione, avevamo detto che la velocità era spazio percorso su tempo impiegato, se li scriviamo come $\Delta s$ e $\Delta t$, la nostra velocità $v$ diventa $$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$

Ma se non vogliamo essere approssimativi e usare il passaggio al limite? Beh in questo caso siamo faticosamente riusciti a definire la velocità in maniera rigorosa, dichiarando addirittura che la velocità è la derivata della curva del grafico.

Non voglio tediarvi troppo per oggi, e ritorneremo su questo concetto la prossima volta, quando definiremo anche cos’è l’accelerazione. Ma volete sapere come si scrive in formula matematica tutto quello che abbiamo detto finora? $$v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}$$

Un ultimo appunto per farvi vedere un po’ di eleganza della matematica, perché gli si può dir tutto ma non che il loro linguaggio sia forse il più potente che esista. Più potente di qualsiasi lingua, che è sempre a rischi fraintindimenti. Lo sapete come si può riassumere tutto il discorso che vi ho fatto finora? Così!

Sia data una e $f:X\to\Re$, il numero $l$ è il limite della funzione $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$, se $$\forall \epsilon\gt0\text{ }\exists\delta\text{ : }\left|f(x)-l\right|\lt\epsilon,$$ $$\forall x\in X \text{ con } 0\lt\left|x-x_0\right|\lt\delta$$