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Collana di fisica classica-Cinematica

Il moto rettilineo uniforme

Siamo arrivati a trovare più o meno in qualsiasi modo tutte le operazioni che dallo spazio ci portano fino all’accelerazione. Abbiamo anche scoperto come si chiama quel moto che ha un’accelerazione costante. Lo ammetto, l’ho nascosto a fine lezione scorsa come premio per i lungimiranti! Bisogna sempre apprezzare lo sforzo…Comunque non vi faccio sfogliare nulla e direi di dedicare questa lezione a due delle tipologie dei moto che si trovano tra i libri di fisica.

Tipicamente è la prima cosa che viene mostrata quando si parla di queste cose: un po’ per far entrare nell’argomento nuovo, un po’ perché saranno quelle basi solide a cui riferirsi ogni volta che le cose si fanno un po’ più complicate. Prendetela così, da bravi fisici che state per diventare (o che siete già) sicuramente avrete l’occasione per affrontare problemi nuovi; ma come si fa quando vi trovate una matassa ingarbugliatissima davanti che continua a cambiare, e non si fa capire? Se lo sapessi avrei una barca di soldi e starei probabilmente in qualche posto esotico a sorseggiare un cocktail, ma una buona idea è partire semplice.

Rifatevi ad un caso senza troppe complicazioni, capitelo bene ed immagazzinate un po’ d’informazioni: sarete sicuramente più preparati per quelli più complessi. E se non basta? Potete riprovare con qualcosa di leggermente più complesso…questi casi ideali vengono chiamati modelli. Avete mai sentito parlare di modellizzare un problema? E’ probabilmente l’attività preferita dagli ingegneri: sono arrivati ad approcciarsi con cose complicatissime rimanendo su un approccio molto semplice. Magari ogni tanto casca qualche ponte (sperando con nessuno sopra), però sulla Luna ci siamo arrivati 50 anni fa e non ci siamo ancora fermati.

Ma bando alle ciance! Di tutti i moti in cui la nostra ormai famosissima macchinina può muoversi, il più semplice qual è? Semplicissimo! Che non si muove! Lei sta bella ferma e parcheggiata e nessuno la disturba. In questo caso cosa possiamo dire sulle nostre tre grandezze, spazio, velocità ed accelerazione?

Partiamo dalla prima. M’immaginerei un grafico piatto, una bella linea orizzontale che ci sta dicendo che non è importante quanto tempo è trascorso, la posizione rimane sempre quella. La cosa peggiore che può succedere è che passa un carro attrezzi e la rimuove per sosta vietata, ma nella mia testolina la immagino nel suo bel garage che non disturba nessuno. Visto che dobbiamo familiarizzare un po’ con le formule, vi dispiace se ve la propongo io, e voi con quella costruite il grafico o la tabella? Anzitutto direi che per essere sicuri che non ci siano fraintendimenti, ci serve fissare un sistema di riferimento: decidiamo un nostro punto speciale, la chiameremo origine, e da lì misuriamo la distanza della macchinina nel tempo. Non so il vostro, ma il mio si trova ad un chilometro dalla macchinina. A questo punto il gioco è fatto, perché con un po’ di tentativi so che il mio chilometro non cambierà al passare del tempo e la formula è presto trovata: $$s=1$$

Ora capite perché vi ho chiesto di fissare un’origine? Va bene che $s$ sarebbe dovuto essere uguale ad un numero, ma come faccio a sceglierlo e dire che è proprio quello se non ho un riferimento? Abbiamo la funzione che ci descrive lo spazio, ora passiamo alla velocità.

Intuitivamente ci aspettiamo che se sta ferma…la velocità è nulla! Ne siete sicuri? Bravi perché è proprio così! Se la velocità ci dice come cambia la posizione dello spazio nel tempo, con una macchinina ferma non ci sono molte possibilità. La sua funzione sarà $$v=0$$

E la sua accelerazione? Il discorso è esattamente lo stesso per la velocità: se l’accelerazione ci dice come cambia la velocità nel tempo e questa è sempre nulla, ancora una volta abbiamo vita facile. La sua funzione è allora $$a=0$$

Facile no? Abbiamo appena scoperto il moto uniforme. Chiaramente me la sono presa comoda e vi ho scelto il caso più facile possibile appena ho parcheggiato l’automobilina. In realtà potevo anche chiedere che lei facesse cantare i motori, ma ad una velocità fissata. Qui la caratteristica è che l’accelerazione è nulla, e quindi la sua velocità non può cambiare…se la macchinina ferma è proprio un caso estremo, ricordate che qualsiasi moto in cui l’accelerazione è nulla è detto moto uniforme. Non è importante se vi muoviate o no, basta che la velocità sia sempre la stessa e che quindi non abbiate accelerazioni.

Il moto uniformemente accelerato

Ed ora complichiamoci un pochino la vita ed aggiungiamo il secondo modello più facile dopo quello uniforme. Visto che stiamo diventando bravi a giocare con le nostre grandezze, partiamo dalla fine ed andiamo a ritroso. Se si chiama moto uniformemente accelerato, cosa volete che abbia di particolare se non che l’accelerazione rimanga sempre la stessa?

In formule questo significa che $a$ debba essere uguale ad un numero ( o una costante, sono sinonimi). Quale scegliamo? Mentre ci pensate, vi anticipo e mi prendo il valore 1. Tanta fantasia vero? Ormai è fatta comunque, e la nostra formula è $$a=1$$

Ma 1 cosa? Dove sta scritto che 1 è un’accelerazione? E’ ora di cominciare ad usare le unità di grandezza: ammetto che sono scomode e me le dimenticherò quasi sempre, però è importante sapere che ci sono e ci permettono di mettersi d’accordo di che cosa stiamo parlando. Sappiamo già che se decidiamo di misurare lo spazio in chilometri e il tempo in ore, allora la nostra velocità si misura in chilometri all’ora. Con l’accelerazione come facciamo? Sappiamo che deve essere il rapporto tra la velocità ed il tempo, cioé dobbiamo dividere $km/h$ con $h$. Scrivendolo bello grande stiamo dicendo che: $$\frac{km}{h}\times\frac{1}{h}=\frac{km}{h\times h}=\frac{km}{h^2}$$

La prima volta che ho visto fare giochini di questo genere sono rimasto con gli occhi sgranati perché pensavo che le frazioni si usassero solo con i numeri, quindi sappiate che se è così pure per voi, vi sono vicino! In ogni caso abbiamo scoperto che l’accelerazione si misura in $km/h^2$, quindi bacchettatemi ogni volta che mi dimentico le unità di misura!

E’ il tempo di passare alla velocità. La nostra macchinina si appresta ad uscire dal parcheggio, e quindi da questo momento in poi sappiamo che la sua velocità deve crescere in maniera costante nel tempo perché l’accelerazione non cambia più. Come si scrive? Sappiamo che quando la cominciamo a guardare sta ferma, ma poi la sua velocità cresce seguendo l’accelerazione. Vogliamo usare un grafico per aiutarci a trovarla?

Lo faremo subito, ma visto che ormai ne abbiamo parlato, direi di usare un altro po’ le unità di misura. Cosa significa esattamente $km/h^2$? Sapreste riportarlo a parole? Cominciamo ad impratichirci con la velocità: se diciamo $km/h$ stiamo guardando come cambia la nostra posizione nello spazio (misurata in chilometri), rispetto alla nostra unità di tempo (misurata in ore). Mi raccomando non dimenticate tutto il discorso che abbiamo fatto sul concetto di velocità nella prima lezione!

Seguendo lo stesso ragionamento, allora $km/h^2$ ci dice quanto cambia la velocità (misurata in chilometri orari) nel tempo (misurata in ore). Quando dico che l’accelerazione vale 1 $km/h^2$, sto allora dicendo che per ogni ora trascorsa, la mia macchinina va più veloce di un chilometro orario! Semplice no? Vedete che queste benedette unità di misura servono a qualcosa?

E’ tempo di vederlo su di un grafico, ma ora sappiamo già cosa aspettarci! Guardandolo, anzitutto notiamo che sta rappresentando la velocità rispetto al tempo, ed abbiamo una bella retta proprio perché la pendenza (che rappresenta l’accelerazione) deve rimanere sempre la stessa. Fin qui ci siamo, ma siamo sicuri che sia proprio di $1km/h^2$? Basta prendere un intervallino di tempo (io ho scelto quello rosso), e vedere di quanto cresce la velocità (è il mio blu): ho esattamente $1km/h$ in più ogni ora!

L'accelerazione è costante nel moto uniformemente accelerato

Questo significa che graficamente ci siamo, non ci resta che guardare la formula della velocità: $$v=t$$

E’ giusta? Penso di si, ma una controllatina non ci sta mai male. Si possono provare un po’ di valori per il tempo e vedere se la velocità è quella che ci aspettiamo (in realtà ne bastano due).

  • Io scelgo 0 come mio primo istante, ed effettivamente la formula mi dice che la velocità è 0 esattamente come il grafico.
  • Il mio secondo istante è 2 ore, e anche qui mi ritrovo il valore che mi stavo aspettando ($2km/h$).

Direi che ci siamo, tutto torna anche se guardiamo il grafico: fin qui c’è andata bene! Ora però manca lo spazio…

E’ ora di discutere il processo inverso rispetto a quello che abbiamo fatto fino a questo momento. Prima partivamo dalla distanza ed andavamo a trovare la velocità, ora dalla velocità dobbiamo risalire allo spazio. Si può fare? Si ed è anche abbastanza semplice a questo punto. Scegliamo la nostra unità di tempo abbastanza piccola, dove sappiamo che la velocità la possiamo vedere come costante, e poi applichiamo, un istante dietro l’altro, la formula $\Delta s = v\times\Delta t$. In questa maniera riusciamo a calcolare di quanto si è spostata la macchinina in ogni istante. Sembra un lavoro mastodontico! Beh, detto così c’è da perderci un po’ di tempo, ma alla fine se sommiamo tutti i valori dello spazio trovati, abbiamo lo spazio percorso!

L’integrale, l’inverso della derivata

Passeremo subito alla soluzione della formula dello spazio, ma se abbiamo scoperto come si chiama l’operazione che facciamo quando dallo spazio arriviamo alla velocità (o dalla velocità all’accelerazione), è giusto che sveliamo anche quella per tornare indietro.

tempo (ore) velocità (km/h)
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10

Con la nostra tabella presa dal grafico di prima, abbiamo i valori della velocità in qualche istante di tempo. Così stiamo considerando il nostro $\Delta t$ che vale un’ora, magari è troppo grande…vogliamo cambiarlo in qualcosa di più piccolo?

Facciamo così, approfittiamo di questa occasione per spiegare come si fa un qualcosa che mette in crisi milioni di studenti ogni anno: le conversioni delle unità di misura. Se volete prendete la tabella successiva per buona, altrimenti sono pochi semplici passaggi che potete utilizzare se vi dovessero servire. Fissiamoci l’obiettivo, vogliamo far diventare i nostri $km/h$, dei $m/s$: $$\frac{km}{h}\rightarrow\frac{m}{s}$$

Tutti quanti sappiamo che un metro non equivale ad un chilometro, come un secondo è diverso da un’ora. In particolare sappiamo che un chilometro sono mille metri, e un’ora sono 3600 secondi. Magari quest’ultimo potevate non saperlo, ma sto solo pensando che in un’ora ci sono 60 minuti ed in un minuto 60 secondi; moltiplico tutto ed ecco i 3600 secondi. Questi numeri devono comparire da qualche parte quando passo da una scala all’altra, e saranno i fattori che mi permetteranno di fare le conversioni a prova di prof.

Partiamo con il caso più semplice. Un chilometro orario quanti metri al secondo sono? Direi di riportare in formule il discorso fatto sopra: dove vedo scritto $km$ scriverò $1000m$, dove c’è $h$ sostituirò con $3600s$: $$\frac{km}{h}=\frac{1000}{3600}\frac{m}{s}$$

Ho staccato i numeri dalle unità di misura per farli vedere bene, perché quelli sono proprio ciò che stiamo cercando! $1000/3600$, ovvero se volete andare dai chilometri orari ai metri al secondo, basta dividere per 3,6.

E se volessi fare il contrario? Beh, moltiplichiamo per lo stesso numero invece che dividere…è un’ottima regola mnemonica! E’ chiaro che alla fine ci si va ad impicciare tra quando bisogna moltiplicare e quando dividere: ognuno ha il metodo suo, io per esempio mi ricordo che i $m/s$ hanno un numero più piccolo dei $km/h$: del resto questo è abbastanza intuibile se si pensa che 1000 è più piccolo di 3600! Ok, fine della divagazione, vi riporto la tabella convertita

tempo (s) velocità (m/s)
$1$ $0.27$
$2$ $0.55$
$3$ $0.83$
$4$ $1.11$
$5$ $1.38$
$6$ $1.66$
$7$ $1.94$
$8$ $2.22$
$9$ $2.55$
$10$ $2.77$
$3600$ $1000$
$5200$ $2000$

Più bruttini come numeri vero? Gli ultimi due sarebbero proprio i primi due della tabella con i $km/h$, il fatto che tornano mi rincuora perché significa che non ho sbagliato i calcoli (e vi assicuro che è un evento)!

Prendiamoci questi valori e facciamo lo stesso approccio che abbiamo fatto con la derivata, solo che il cervello girato al contrario. Lo spazio $s$ dopo $5$ secondi sarà $$s(\text{dopo 5 secondi})=v_{1s}\times\Delta t+v_{2s}\times\Delta t+v_{3s}\times\Delta t+…+v_{5s}\times\Delta t$$

Perdonatemi se sono stato poco chiaro, ma ho semplicemente usato la formula $\Delta s=v\times\Delta t$ per calcolare il piccolo spostamento tra un secondo e l’altro, e poi li ho sommati tutti per capire dove siamo arrivati. Quei pedici che ho messo alle velocità, mi servono solo per far notare che i valori sono diversi in ogni secondo: usare solo $v$ sarebbe stato non molto preciso, perché la velocità non è sempre la stessa. Comunque è giunto il momento di un bel disegno: in questa lezione mi sono dato al risparmio fino a questo momento, e non è carino, vorrei abituarvi bene!

Procedimento per il calcolo dell'integrale

Il grafico sopra, riporta proprio i singoli valori della somma di prima. Se sommiamo le altezze dei primi 5 rettangolini, abbiamo lo spazio percorso dopo 5 secondi, ma possiamo andare anche avanti a 7, 10, 3600 o 25200..

Ci siamo? Non proprio…dobbiamo infilare il passaggio al limite da qualche parte! Direi che è il momento di farlo, perché non abbiamo scritto da nessuna parte che la nostra velocità rimane costante per un intero secondo! Riprendiamo la nostra funzione $v=t$, con $1.3′$ troviamo lo stesso valore di $1.9′$? Putroppo la risposta è no, le cose sono semplici ma non così semplici!

Ve la passo come una scusa per rendermi la vita più facile, ma questa notazione matematica è così usata e comoda che è giusta buttarvela lì. Quando in matematica si vuole parlare di somme, visto che con tanti termini si occuperebbe tanto posto, si usa scrivere in questa maniera $$s=\sum_{i}v_{i}\times\Delta t$$

La $i$ che vedete è l’indice di sommatoria, ma a parte i nomi, mi dice solo che varrà di volta in volta tutti i valori che sto prendendo in considerazione (ora 1,2,3,4 e 5). Questa è la notazione sbrigativa, volendo essere proprio precisi la formula di prima per s a 5 secondi diventerebbe: $$s(\text{dopo 5 secondi})=\sum_{i=1}^5v_{i}\times\Delta t$$

D’accordo che è brutto, ma, ripeto, in questa maniera vi sto dicendo che $i$ varrà di volta in volta 1,2,3,4 e 5. Calcolate per ciascuno di questi $v_i\times\Delta t$ e poi sommateli tutti. Mooolto più sbrigativo!

Bene, siamo arrivati a questo benedetto limite! Perché ora lo spazio preciso, diciamo fino ad $x$(un valore a caso per non dire 5 o 3298473298473298437294), diventa $$s(\text{dopo x secondi})=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{i=1}^xv_i\times\Delta t$$

Sarà più comodo di scrivere tutti i termini, ma si può fare ancora di meglio per risparmiare inchiostro! I matematici si sono inventati un simbolo apposta, perché insieme alla derivata, troverete questa operazione praticamente ovunque: il suo nome si chiama integrale$$ s(\text{dopo x secondi})=\int_{0}^{x}v_i\text{ }dt_i$$

Ricordate che quando vediamo questo simbolo, allora l’operazione che ci stanno chiedendo è quella di sommare tutti i termini, cioé di fare un’integrazione. Questa parte magari è più spinosa, però non dimentichiamoci che stiamo solo facendo il processo inverso della derivata.

Vogliamo metterci a fare i calcoli quadratino per quadratino? Vi va di dare un’occhiata a come si svolge un integrale? Io ce lo risparmierei e non me ne vogliate: il procedimento per trovare la funzione è quello di risoluzione di un integrale, e più che spiegare come fare un procedimento io mi concentrerei sul concetto. Mi comporto come in una trasmissione di cucina in cui prima cominciano a fare la ricetta, e poi la tirano guori già pronta e guarnita. Io la mia formula ve l’ho già “impiattata”: $$v=\frac{t^2}{2}+1$$

Se non vi dico come faccio a saperla, possiamo vedere almeno se ha senso $t^2/2$? Se vi ricordate la lezione scorsa abbiamo calcolato la derivata di $t^2$ (per quelli che c’erano), e veniva $2t$. Anche se non sappiamo fare un integrale, comunque possiamo farci un’idea per analogia…al momento fidatevi! E quel $+1$? Perché vi avevo detto alla prima pagina che la macchinina mi stava distante 1 chilometro. Pensavate me ne fossi dimenticato?

Vi ho saltato tutta la parte rognosa, è vero, però per il resto l’unica cosa che può mettere un po’ in crisi con queste operazioni è questo passaggio al limite. Se proprio non vi piace vedetela così: in fondo è solo l’uso della fantasia per immaginarci bravissimi a misurare istanti e spostamenti piccolissimi. Più piccoli di un capello, di una cellula, di un batterio, del DNA, degli atomi, del bosone di Higgs…più piccolo di qualsiasi cosa possiate pensare! I bambini sognano i superpoteri di Superman, i matematici quelli del limite: ad ognuno il suo!

Ragazzi oggi è stata tosta…Queste cose di solito si fanno direttamente sparando le formule da usare, e dopo un po’ si scoprono gli integrali e le derivate. Sta a noi poi rimettere insieme i cocci! Man mano che scrivevo mi rendevo conto sempre meglio nel casino in cui mi stavo andando ad infilare: spero di esserne uscito abbastanza bene nonostante tutto. Per qualsiasi cosa potete scrivermi, anche in privato, e sarò felicissimo di rispondere.

Prima di salutarci però…ho scoperto il volante della macchinina! Ci sono entrato dentro mentre vi parlavo del moto uniforme ed ho visto che girandolo si girano le ruote…fantastico! E se lo faccio mentre siamo in movimento che succede? Che stiamo scoprendo il moto bidimensionale (o a due dimensioni)! Stiamo ancora in pianura, ma se volete metterci un bel dosso e saltare come Hazard il ragionamento non cambia. In generale rimarremo in pianura perché è solo più scomodo disegnare su un foglio la terza dimensione, ma se volete proporvi come grafici e spiegare come integrare una cosa del genere sul sito io non ho problemi!

Ok, come si fa ad integrare il “destra” e “sinistra” con “avanti” e “indietro”? Non so voi, ma io li tratterei separatamente, e poi li rimettiamo insieme quando ci siamo calcolati tutto. Stiamo scomponendo il moto in componenti, che anche se suona complicatissimo non è nient’altro che un procedimento per semplificarci la vita. Vediamo come succede nella sezione “avanti e indietro”, vediamo cosa succede in quella “destra e sinistra” e poi ricomponiamo! Se volete il “su e giù” aggiungetelo senza problemi…

Qui l’unica vera difficoltà è fare i disegni! Per le tabelle non ci sono problemi, perché possiamo farle con 3 colonne:

  • la prima è per il tempo;
  • la seconda è per il “destra e sinistra”, tipicamente lo si indica con la lettera x per comodità;
  • la terza è per l’ “avanti e indietro”, tipicamente lo si indica con la lettere y

Poi è chiaro che potete fare come volete e girare, spostare o rinominare…lo farò anche io ogni volta che mi servirà! Chiaramente dopo avervelo detto…

Per i disegni invece dovremmo fare dei grafici tridimensionale se abbiamo solo x e y, e quadrimensionali se ci aggiungiamo il “sopra e sotto” (che viene chiamato z). Difficilotto non c’è che dire. La soluzione migliore è quella di non disegnare la colonna del tempo: ricostruiamo i nostri grafici come quelli che abbiamo fatto fino adesso, solo ora l’asse orizzontale non sarà più il tempo, ma la x o la y (tipicamente la x). In questa maniera disegnamo una traiettoria: il nome sicuramente non vi giunge nuovo, ma cerco di spiegarvela lo stesso. E’ la collezione di tutte le posizioni che la nostra automobilina ha avuto nell’arco del tempo, tutte insieme contemporaneamente. Un po’ di esempi nella vita di tutti i giorni? Fatemici pensare…un fulmine per esempio! Lo schizzo di una fontana, il fuoco d’artificio prima che sparisca, un disegno a matita, oppure anche questo