Table of Contents

Collana di fisica classica-Cinematica

La velocità nel grafico

Ci siamo lasciati parlando di rettangolini ristretti e passaggi al limite. Ma sono riuscito a non definirvi affatto la velocità, nonostante dovesse essere l’argomento principale. Bravo vero? In realtà l’argomento è ostico se non si vogliono usare formule o funzioni. E’ uno di quei campi che dopo è intuitivo, ma durante rimane un bel rompicapo. Per questo dipaniamolo e poi torneremo ad una visione più convenzionale.

Grafico della velocità media nei diversi intervalli di tempo

Vorrei ripartire dal grafico sopra, per cominciare a giocare con quello che questi strumenti rappresentano. Ormai ce li troviamo ovunque insieme alle percentuali (non vi dico quanto vanno quelli che rappresentano le percentuali), ma in fondo sono figure, e come tali le sfogliamo.

Quello che voglio fare non è guardarli, ma studiarli. Se vi chiedessi dove sono le velocità nel grafico, andreste subito a botta sicura? Cerchiamo un attimo di ripercorrere come le definiamo e dove si annidano nella figura.

Abbiamo detto che la velocità è spazio diviso tempo, quindi se vogliamo lavorare tra l’ora 5 e l’ora 6, dobbiamo calcolarci questi due valori separatamente e poi dividerli.

Diamoci da fare:

  • Per il tempo ve l’ho detto io e c’è poco da fare, il valore finale è 6, mentre quello iniziale è 5.
  • Per lo spazio muoviamoci dal 6 sull’asse orizzontale verso l’alto, quando incontriamo la curva giriamo a sinistra e leggiamo il valore scritto sull’asse verticale: in questo caso 17.4. Ripetiamo la stessa operazione per il 5 e troviamo 7.8.

Con i valori, possiamo calcolare il $\Delta s=17.4-7.8=9.6 km$ e il $\Delta t=6-5=1 h$, Il loro rapporto è la velocità. Ma sul grafico tutto questo dov’è? Se ci ragionate un attimo è proprio la pendenza del tratto congiungente i due punti. Tanto più il segmento diventa “verticale”, tanto più grande è la velocità. In questo caso una linea orizzontale significa star fermi, una verticale andare un po’ troppo veloci, addirittura avere una velocità infinita. Lo so che posso sembrare pedante e la sto facendo troppo lunga, ma voglio essere proprio sicuro di avere tutto quello che serve per gestire un grafico: li incontreremo spesso e una figura può quello che non possono interminabili discussioni; quindi sfruttiamoli il più possibile!

A questo punto abbiamo capito come fare una cosa che già sapevamo fare! Sai che scoperta…Tanto più una curva è inclinata verso l’alto, tanto più la nostra macchinina sta correndo. Se la volessimo quantificare qui, abbiamo sempre quel numero trovato prima, 9.6.In matematica si chiama coefficiente angolare, ma il concetto grafico sono sicuro che l’avevate già colto: la variazione del nostro tratto sull’asse verticale rispetto a quello orizzontale, o detto in altre parole, come sale (o scende) rispetto a come va a destra (o sinistra quando può).

La velocità media

Quella che abbiamo detto finora è la situazione semplice, ma un grafico come l’ultimo della scorsa lezione, come lo trattiamo? Dov’è la retta e la sua pendenza?

Proporrei anzitutto di riprendere il grafico, per poi andare a scoprire che dobbiamo rifare tutto il nostro procedimento, solo che questa volta applicato alle figure

Grafico della legge oraria: l'asse delle x rappresenta il tempo, quello delle y lo spazio

Vorrei concentrarmi ancora una volta sul nostro rettangolino giallo perché i valori possono cambiare, ma il procedimento rimane sempre lo stesso. Ingrandiamo solo quella zona e cominciamo a vedere come muoverci

Ingrandimento di un tratto della legge oraria per mostrare il calcolo grafico della velocità

Come vedete mi sono sbizzarrito a collegare i punti con colori che non stanno neanche troppo bene tra loro. La linea nera (che in pare è coperta da quella verde) è il primo collegamento dell’ultima lezione, quella rossa il nostro ultimo tentativo, mentre quelle blu e verdi sono tentativi di disegnare la velocità. La parte nuova insomma!

Concentriamoci prima sulle linee verdi, come vedete io ne ho due, con due pendenze differenti. Il motivo? Collegando punti diversi, ho risultati diversi. Per quale motivo la velocità tra il tempo 5.7 e 6 è diversa tra quella nel tempo tra 5.7 e 6.2? Seppur la ragione è abbastanza intuitiva, vi ricordate quando vi dicevo che stavamo approssimando considerando la nostra unità di tempo di un determinato valore? Il grafico ci sta facendo vedere che se “il nostro rettangolino giallo è largo” 0.3 h (prima linea verde) abbiamo un valore, se invece è 0.5 (seconda linea verde) ne abbiamo un altro. Chi ha ragione? Dipende da voi…a rigore nessuno dei due è corretto o sbagliato, però potrebbe starvi bene sbagliare di un pochino per non fare tutti i calcoli.

E le linee blu? Beh quelle sembrano ancora più disastrose, addirittura nello stesso arco di tempo riesco a distinguere tutto un fascio di linee anche molto diverse! Ma questo possiamo anche aspettarcelo, visto che la nostra linea rossa di riferimento s’incurva molto di più di quanto non faccia quella nera.

Prima di andare avanti volevo dare un nome a tutte queste approssimazioni che abbiamo fatto: se voi fino alla lezione precedente parlavate senza remore di velocità, è giunto il momento di complicarci leggermente la vita ed aggiungere una parolina magica: le pendenze di quelle rette rappresentano la velocità media.

Per essere più precisi, la pendenza di quelle linee rappresenta mediamente la velocità tra gli istanti considerati. E’ chiaro che il risultato non è preciso, ma questo non è mai un problema se definite l’entità dell’errore che state compiendo: mi spiego meglio, poniate che la velocità della signora fosse 60,329746239739274732497… km/h, dove i puntini stanno dicendo che ci sono ancora cifre dopo il 7, avreste intenzione di dirle tutte ogni volta? Non sarebbe meglio fare come il vigile e dire alla signora che andava a 60 km/h? E’ chiaro che sta sbagliando, ma è anche vero che sta facendo un errore di 0,329746239739274732497..Tenendolo a mente, 60 km/h può andar bene, no?

La velocità istantanea

Ok, è giunto il momento di ritrovare un’altra volta il passaggio al limite, ma questa volta sul grafico! In realtà ora ci sarà poco da scrivere e molto da guardare. Sotto vi troverete un miscuglio di linee, quindi prima di perdervi vi dico che cosa sta succedendo:

  • Definiamo la larghezza del nostro rettangolino giallo, e quindi la nostra unità di tempo e il momento iniziale e finale.
  • Vediamo i suoi valori all’inizio e alla fine del rettangolino sul disegno e colleghiamo i punti. La pendenza della linea che viene è la nostra velocità media per quella scala dei tempi
  • Ripetiamo la stessa operazione, ma con un rettangolino più piccolo

Il risultato, tutto bello colorato, è quello della figura sotto. Raffigurazione del passaggio al limite per il calcolo della retta tangente, la cui pendenza rappresenta la velocità

I colori vanno dal blu verso il rosso, e rappresentano intervalli di tempo via via più piccoli. Vi ricordate il termine passaggio al limite? Ebbene non vi sembra che le linee colorate tendano verso quella rossa? Forse il nome non era così inappropriato in fondo…la pendenza della linea rossa è la nostra velocità, ma ora che tipo di velocità è? Abbiamo detto che la velocità media è definita in un intervallo di tempo (cioé da un tempo di partenza ad un tempo di arrivo), ora invece noi abbiamo un solo istante! Se volessimo usare la nostra formula $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ ci verrebbe un numero diviso 0 (l’istante iniziale meno l’istante finale, visto che sono lo stesso), e che lo sappiate o no, questo non ha alcun senso fisico. L’avrete studiato in matematica, e vi avranno detto che qualsiasi numero diviso 0 fa infinito, e vi pare il nostro caso? Dobbiamo utilizzare il concetto del passaggio al limite di cui abbiamo parlato nella lezione precedente e di cui parleremo in quella successiva in maniera più dettagliata..

Comunque ora abbiamo un modo per calcolare la velocità in un punto, proprio quella a cui facciamo riferimento quando guardiamo il tachimetro di una macchina (più o meno..). Il suo nome? velocità istantanea.

L’accelerazione

Siamo andati abbastanza bene oggi no? Abbiamo fatto qualche passettino in più nel nostro discorso e tutto solo sui disegni, ma in realtà questi concetti li ritroveremo ovunque e ci saranno sempre utili.
Prima di lasciarvi andare però voglio farvi un’ulteriore domanda: se siamo diventati (abbastanza) bravi con la velocità, come vogliamo definire l’accelerazione? Deve esserci qualcosa di analogo tra la relazione che c’è tra la velocità e lo spazio, solo che in questo caso l’abbiamo tra l’accelerazione e la velocità. E’ la velocità percorsa rispetto al tempo impiegato (come la velocità è lo spazio percorso rispetto al tempo impiegato)? Non ha molto senso vero? Forse ci conviene definire meglio il concetto di velocità, in maniera tale che il discorso sia utilizzabile anche con l’accelerazione.

Ad un certo punto vi ho ingannato, è giunto il momento che lo sappiate. Vi ho tirato dentro a vostra insaputa l’uso di $\Delta s$ e $\Delta t$, senza spiegarvi quel $\Delta$ cosa significa. Questa lettera greca è usata in tutto il mondo scientifico per indicare una variazione o differenza: per cui $\Delta s$ significherebbe differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale, come $\Delta t$ lo è tra il tempo finale e quello iniziale. Se a voi non cambia niente, cambierei leggermente la dicitura tra spazio percorso, in variazione nello spazio: in questa maniera non ci sono problemi a definire un $\Delta v$, ovvero variazione della velocità.

Direi che ci siamo. A questo punto l’accelerazione la possiamo definire come la variazione della velocità nel tempo, e cominciamo ad essere in grado di studiare macchinine che cambiano la loro velocità durante il tragitto. Non ancora una grande passo avanti, visto che non le permettiamo neanche di curvare, però è già qualcosa.

Direi che per oggi è abbastanza, ma prima vorrei darvi qualche risultato in più, senza sforzo. Se siamo riusciti a definire la velocità media e quella istantanea, allora senza alcuno sforzo possiamo capire cosa s’intende per accelerazione media e accelerazione istantanea. L’unico problema ora è che non abbiamo tachimetri per misurarla nelle macchinine, come nessun vigile che ci contesti multe perché acceleravamo troppo. L’accelerazione è una grandezza molto più sfuggente della velocità, anche se a volte si fa sentire: avete presente quando frenate bruscamente e vi appiccicate al sedile davanti o al manubrio della macchina? Quando durante una curva a destra siete spinti verso sinistra? Durante un tuffo che vi sentite il cuore che vi arriva in gola? E’ sempre causa sua, anche se in maniere diverse: avremo modo di vederle quasi tutte!