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Collana di fisica classica-Cinematica

La rotazione

Se abbiamo capito cosa sono i vettori, possiamo andare avanti e capire come usarli nelle varie situazioni, e il primo problema che può venire in mente è quando la traiettoria s’incurva. Mi spiego con un esempio pratico, e “stranamente” è anche una delle cose che mi piace di più: avete presente i video di snowboard, dove gente troppo più brava di me fa pazzesche evoluzioni? E per pazzesche evoluzioni intendo cose di questo genere…

Trick con lo snowboard basato sulle rotazioni

Ritiro la lingua dentro? M’immagino dove potrei essere arrivato io: probabilmente col dirupo davanti a me, neanche dove stava il fotografo! Finita la venerazione, se non vi siete messi a correre verso la vostra tavola, guardiamo la foto perché ci sono due cose che c’interessano.

La prima di queste in realtà non si vede: c’immaginiamo tutti che per un salto del genere lo snowboarder deve aver avuto una velocità niente male, e chissà che discesa si è lasciato alle spalle. Tuttavia, senza la rampa, la velocità avrebbe continuato a spingerlo verso il basso e lui non sarebbe riuscito a fare ciò che ha fatto.

Il secondo punto da cogliere è che lo snowboarder, essendo un po’ più grande del nostro punto appiccicato sulla macchinina, può fare una cosa che non siamo attrezzati a trattare: ruotare su se stesso.

In entrambi i casi c’è l’argomento di giornata: la rotazione. Si, perché sarà proprio quello che dobbiamo vedere: abbiamo detto che possiamo mettere il nostro sistema di riferimento dove vogliamo, specificando l’origine, ma possiamo fare anche di più: non c’è alcuna differenza in che direzione scegliamo gli assi.

Raggiungiamo il nostro amico snowboarder e chiediamogli di portarsi dietro un tachimetro per misurare la sua velocità: se il nostro misuratore ci dicesse la velocità istante per istante, noi avremmo informazioni lungo la traiettoria del moto. Dobbiamo trovare qualcosa che ci permetta di ruotare gli assi con il nostro amico snowboarder: diciamo che vogliamo che l’asse x sia sempre allineato con la tavola, e l’asse y con il fenomeno. Ci serve uno strumento che ci dica come si mescolino i valori per qualsiasi orientamento angolare. Ma con i nostri assi fissi, come facciamo a rappresentarla in una traiettoria simile ad una parabola? Man mano che gira, la velocità lungo l’avanti e indietro e quella lungo il basso e alto si mischiano continuamente nella rotazione.

Raffigurazione di un vettore per trovare x y e z

Dovete ammettere che questa volta mi sto dando da fare con le figure! Nell’immagine sopra, un vettore che parte dall’origine ruota in maniera rigida insieme agli assi. Con rigida s’intende una rotazione dove non c’è deformazione, quindi il vettore non si allunga o si accorcia: questo significa che rispetto agli assi, le sue componenti non cambiano. Ci sono 4 ruotazioni consecutive, sempre per lo stesso angolo $\varphi$. Quello che vogliamo saper fare è predire come cambiano le componenti x ed y del vettore rispetto agli assi iniziali, conoscendo l’angolo di rotazione $\varphi$. Mi sto rendendo conto che ho assunto un tono molto “matematichese”, ma le rotazioni ce le ritroviamo ogni volta che qualcosa è in movimento: da il nostro amico snowboarder agli altri esempi sotto.

Rotazioni aeree di aereoplani acrobatici Il tubo del surf, una rotazione dell'onda su se stessa

Le funzioni seno e coseno

Rimaniamo in tono matematichese e vediamo quali sono questi strumenti che possiamo utilizzare. Riguardando l’unico grafico che abbiamo avuto finora, pensiamo a realizzarlo in pratica: prendete una corda, fissatela ad un’estremità e cominciate a ruotarla. State disegnando un cerchio. Se questa corda è il nostro vettore, nulla ci vieta di immaginare che ne abbiamo altre due anche per i nostri assi. Continuando a ruotare quel grafico, avremmo infatti 3 cerchi: due per gli assi, ed uno per il vettore.

Visto che la nostra rotazione è rigida, ricostruiamo tutto il nostro sistema su di una circonferenza. Questa volta a ruotare sarà solo il vettore, mentre gli assi rimangono fissi nella loro posizione. In base all’angolo $\varphi$ che decidiamo, dobbiamo essere in grado di calcolare immediatamente le due componenti x ed y. Il cerchio lo consideriamo con raggio uguale ad 1 per semplicità: per riportarci al nostro vettore, basterà moltiplicare per la sua lunghezza.

Rappresentazione del cerchio unitario per il seno ed il coseno

Abbiamo riportato sugli assi le linee rosse che ci dicono quanto valgono le componenti x ed y con un vettore lungo come quello giallo. Per vedere come variano queste linee, proviamo ad immaginarci la freccia in diverse posizioni. I primi due che possono venire in mente sono i casi più semplici: allineare il vettore agli assi.

Supponiamo che sia allineato prima all’asse x: in questo caso abbiamo che la componente x vale 1, mentre la componente y è nulla. Nel caso dell’asse y invece abbiamo il caso contrario: componente y unitaria e componente x pari a 0.

Abbiamo il nostro primo indizio: dobbiamo sempre ritrovare 1 se sommiamo qualcosa legato ad x e y. Questo ce lo possiamo aspettare, visto che siamo su un cerchio di raggio unitario: se la loro somma cambiasse la figura grigia diventerebbe qualcos’altro, come un’ellisse per esempio.

Visto che è gratuito, aggiungiamo anche gli altri due punti interessanti: il vettore allineato sull’asse x puntando verso sinistra, e allineato sull’asse y puntando verso il basso. Questi sono gli esempi speculari dei due di prima: le coppie di valori per i componenti saranno rispettivamente $(-1,0)$ e $(0,-1)$.

Stiamo costruendo allora queste due funzioni, e ne conosciamo almeno quattro punti:

  • Se $\varphi = 0$ ed il vettore è allineato con l’asse x verso destra, la coppia è $(1,0)$
  • Se $\varphi = 90^{\circ}$, abbiamo fatto un quarto di giro ed il vettore è allineato con l’asse y verso l’alto, la coppia è $(0,1)$
  • Se $\varphi = 180^{\circ}$, abbiamo fatto mezzo giro ed il vettore è allineato con l’asse x verso sinistra, la coppia è $(-1,0)$
  • Se $\varphi = 270^{\circ}$, abbiamo fatto tre quarti di giro ed il vettore è allineato con l’asse y verso il basso, la coppia è $(0,-1)$

Potremmo anche aggiungere un quinto punto, che è quello a giro completo. Eppure lo abbiamo già riportato: è esattamente il primo. Questo ci dà il secondo indizio: le funzioni che stiamo cercando sono periodiche e i valori sono identici a se stessi ad ogni giro. Se sappiamo la componente y con un angolo di $10^{\circ}$, la sappiamo anche a $370^{\circ}$ ($360^{\circ}+10^{\circ}$) e a $730^{\circ}$ ($360^{\circ}$+$360^{\circ}+10^{\circ}$).

Ci siamo quasi, prima però fatemi definire una cosa fondamentale: la misura dell’angolo. Vi ho parlato di quarti di giro, mezzi giri o giri completi, ho perfino usato i gradi sapendo che un giro è $360^{\circ}$, eppure gli angoli sono normalmente misurati in radianti. Potete usare anche i gradi per carità, si fa sempre in tempo a riportarsi ai radianti se serve, ma questi sono l’unità di misura ufficiale.

Per capire i loro valori, si parte sapendo che la lunghezza della circonferenza di raggio $r$ è $2\pi\times r$. Se invece volessimo la lunghezza di metà di circonferenza possiamo dire che questa è uguale a $\pi\times r$ (la sua metà). Con un quarto troveremmo $\pi\times r/2$, mentre per tre quarti abbiamo $3\pi\times r/2$.

Intuendo la definizione, un radiante è il rapporto tra la lunghezza dell’arco di circonferenza e il raggio di tale circonferenza: in questa maniera sappiamo che:

  • $90^{\circ}$ equivale a $\pi/2$;
  • $180^{\circ}$ a $\pi$;
  • $270^{\circ}$ a $3\pi/2$;
  • $360^{\circ}$ a $2\pi$.

Ci siamo! Abbiamo tutto per introdurre i nostri strumenti delle rotazioni. I loro nomi sono $\sin\varphi$ e $\cos\varphi$.

Il seno e il coseno nelle proiezioni

L’ultima animazione ci fa vedere chiaramente che il seno ed il coseno sono due funzioni molto simili, praticamente identiche se non fosse che i loro grafici sono spostati. Prendete la riga blu, muovetela a destra quanto basta ed avrete esattamente la riga rossa.

Quel “quanto basta” lo si può intuire dai valori che abbiamo visto prima con i quattro punti: è $90^{\circ}$ o $\pi/2$.
Con gli angoli $0$, $90$, $180$, $270$ e $360$, si vede che s’interscambiano gli $0$, gli $1$ e i $-1$ tra le componenti x ed y con regolarità: il valore della componente x diventa il valore di quella y dopo $90^{\circ}$, e viceversa.

Detto in “matematichese”, significa che $$\sin\varphi=\cos\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right)$$

Ora dobbiamo capire come usare queste funzioni. Abbiamo già visto come si calcolano le componenti di un vettore sugli assi graficamente, ma torniamo un attimo al seno al coseno.

Anzitutto proporrei di disegnarle e guardarle bene in faccia!

Funzione coseno

Questa funzione è il coseno. Vediamo, a $0^{\circ}$ vale $1$, scende fino a $0$ quando $\varphi=90^{\circ}$, continua fino a $-1$ quando raggiunge $180^{\circ}$, e poi risale ad $1$ con il giro completato. Per quanto abbiamo detto prima sembra proprio il candidato ideale per la componente x. $$\text{componente }x=\cos\varphi$$

Funzione seno

Guardando il seno invece, sembra fare al caso nostro per la componente y, e non potrebbe essere altrimenti del resto! $$\text{componente }y=\sin\varphi$$

Vi ho riportato un attimo il grafico di prima in basso. Guardiamolo bene, non vi sembra che il seno ed il coseno non siano altro che la proiezione di un vettore unitario sugli assi x ed y? Perché se così fosse abbiamo trovato senza volerlo un qualcosa che verrà utilizzato quasi sempre in fisica: il prodotto scalare.

Rappresentazione del cerchio unitario per il seno ed il coseno

Avendo un vettore $\vec{r}$, che magari rappresenta la posizione, noi possiamo conoscere la sua componente $x$ (che è uguale a $|\vec{r}|\times\cos\varphi$) e la sua componente $y$ ($|\vec{r}|\times\sin\varphi$). Eppure fateci caso, questi assi che noi stiamo rappresentando sono sempre stati rappresentati come frecce: non sia mai che pure loro sono vettori? La risposta in realtà è “ni”, perché sono sì dei vettori, ma un po’ particolari: il loro nome è versori, ovvero dei vettori unitari. Li si usa per comodità, visto che servono come riferimento, vedrete tra qualche riga che sceglierli così non è affatto sciocco.

Quindi fino a questo momento, quando ci calcolavamo le componenti non stavamo facendo altro che proiettare un vettore su un altro di lunghezza unitaria. Questa operazione si chiama prodotto scalare, e possiamo farla anche su due vettori di lunghezza qualunque. Se ad esempio avete tra le mani $\vec{a}$ e $\vec{b}$, il loro prodotto scalare sarà $$\vec{a}\cdot\vec{b} = |a|\times|b|\cos\varphi$$

Se ancora non lo avessi specificato ne approfitto per farlo ora:

  • quando vedete |a| s’intende la lunghezza del vettore $\vec{a}$. Potreste trovare anche semplicemente $a$ e la lunghezza di un vettore è definita anche modulo;
  • $\varphi$ rappresenta in questi casi sempre l’angolo compreso tra i due vettori di cui si sta calcolando la proiezione.

Capito perché usare dei versori con gli assi? Nel calcolare le componenti di un vettore dovremmo moltiplicare anche per la lunghezza del vettore $x$ e del vettore $y$, ma prendendo versori, questa vale 1 e qualsiasi numero moltiplicato per uno è uguale a se stesso. Tra fisici e matematici pensano proprio a tutto! $$\vec{a}\cdot\vec{x}=|a|\times 1\cos\varphi$$

A questo punto potreste chiedervi perché se il prodotto scalare ha il coseno, per calcolare la $y$ si è usato il seno? Ottima domanda! Riguardando il disegno del circolo unitario, effettivamente non ho specificato chi è $\varphi$, ma si rimedia subito: intendevo l’angolo compreso tra il vettore e l’asse x. Posto questo, per la y avrei dovuto moltiplicare per il coseno dell’angolo compreso tra il vettore e l’asse y (chiamamolo $\vartheta$), eppure disegnando un po’ di triangoli rettangoli, si vede che questo angolo è il complementare di $\varphi$. Cosa significa? Che sto “spostando il coseno” di un angolo che è proprio quanto basta perché diventi un seno, ed allora perché non usare direttamente il seno?

Il seno e il coseno nelle rotazioni

Rotazione del sistema di riferimento

Torna il grafico di prima, solo che a questo punto facciamo l’esatto contrario: invece di ruotare il vettore e tenere fissi gli assi, vogliamo ruotare quest’ultimi e tenere fisso il vettore. Se sappiamo capire come mettere in relazione $x$ e $y$ con $x’$ e $y’$, possiamo metterci a ruotare come trottole e sapere sempre che cosa stiamo misurando rispetto al nostro sistema di riferimento iniziale $x,y$. Possiamo quasi dare il tachimetro al nostro amico snowboarder, quasi! Il maledetto ha aggiunto anche la rotazione su sé stesso e per quella ancora non siamo attrezzati.

Sui salti ruotanti ci torneremo, lo prometto, però ora ci serve qualcosa di più semplice. Diciamo che il nostro amico snowboarder era stato accompagnato da suo fratello in motoslitta: se uno è matto l’altro non può essere molto più sano, solo che lui ha preferito usare qualcosa di più meccanico. Ad ognuno il suo! Riprendiamo per un attimo il nostro punto materiale e appiccichiamolo da qualche parte. Non ci resta che goderci lo spettacolo.

Sequenza di un salto in motoslitta per studiare il moto relativo

Da terra siamo diventati esperti nell’immaginarne l’accelerazione, la velocità e la posizione nel tempo, solo che ora vogliamo fare una cosa complicatissima quasi quanto il nostro amico snowboarder: fino a questo momento i nostri piedi erano ben piantati per terra ed abbiamo capito che cosa si vede, ma cosa cambierebbe se invece il nostro punto di vista ora fosse sulla motoslitta?

Magari ricostruire proprio tutto sarebbe lungo, però almeno vedere come i nostri spettatori si girano, sarebbe carino farlo da aggrappati al nostro nuovo autista. Riprendiamo il grafico di prima e cerchiamo di capire quei vettori cosa sono nel nostro caso. Diciamo che ci siamo appena staccati dalla pedana, la freccia inclinata potrebbe essere la nostra posizione; sarà il caso di raddrizzarla perché noi dalla motoslitta siamo convinti di andare dritti e non di girare o salire, lo faremo tra poco. I due sistemi di riferimento con $x,y$ e $x’,y’$ potrebbero rappresentare qualche spettatore a terra che sta piegando la testa mentre ci segue con lo sguardo. Un po’ come i cani quando ci guardano turbati. Magari si starà chiedendo che diamine ci stiamo facendo là sopra. Nel caso specifico le $x$ rappresentano l’andare avanti, mentre le $y$ l’alzarsi.

Cane interrogativo con la stessa postura del nostro osservatore

La situazione è quella nella figura sotto. Ho limitato il numero di frecce, ma se volessimo disegnare il nostro sistema di riferimento, avremmo una $x$ che si trova esattamente nella nostra direzione, ed una $y$ che punta verso sinistra nel disegno. La componente di quest’ultima se ci pensate deve essere nulla: il nostro sistema di riferimento si muove con la motoslitta, e se la $y$ è l’alto ed il basso, nessuno ci sta saltando sopra (a parte il nostro autista tra poco). So che sembra complicato, ma se ci pensate è così, è un mondo che va alla rovescia! Vi è mai capitato di rimanere fermi per ore su trenitalia ed ad un certo punto avere il finestrino riempito da un treno che viaggiava in direzione opposta? Sfido chiunque a non ammettere che per un momento ha creduto di essere finalmente partito. La colpa è del nostro cervello e delle sue abitudini, a volte sciocche.

Noi ora invece dobbiamo lavorare di fantasia.

Rappresentazione dei sistemi riferimento, rispetto ad uno solidale alla motoslitta

Il nostro obiettivo è capire come cambiano le componenti della nostra posizione per lo spettatore che sta ruotando la testa. Se volessimo trovare i valori nel caso specifico basterebbe girare il grafico e ritrovare le componenti in ogni sistema di riferimento, come abbiamo fatto la lezione scorsa, ma chiaramente non siamo così fortunati. L’unica maniera per non perdersi in complicatissimi ragionamenti sarebbe quello di affidarsi alla geometria, dove di complicatissimo ci sarebbe il controllo delle nascite di triangoli rettangoli e angoli complementari come funghi, però credo che il concetto ora sia molto più importante dei calcoli.

Perché abbiamo quel cerchio grigio? Ci può aiutare in questo caso: ogni componente che vogliamo calcolare partirà dalla nostra origine e raggiungerà sempre la circonferenza Se così non fosse, significherebbe che ci stiamo perdendo pezzi di posizione da qualche parte; disegnarla ci dà un bel supporto visivo! Il nostro spettatore, andando da $x,y$ a $x’,y’$ sta piegando la testa, avvicinando la sua $x$ verso la nostra, ricordatevi però che se una componente cresce l’altra deve diminuire! La $y$ ‘cede una parte’ alla $x$ nel nuovo sistema di riferimento, in maniera tale che il nostro vettore non cambi, anche se la sua coppia di numeri lo sta facendo.

Ci risparmiamo i calcoli e guardiamo la formula per calcolare la coppia $x’,y’$ conoscendo l’angolo di rotazione $\varphi$ e i valori $x,y$: $$x’ = x\times\cos\varphi+ y\times\sin\varphi$$ $$y’ = y\times\cos\varphi- x\times\sin\varphi$$

Senza scendere troppo per il sottile potevamo aspettarci un qualcosa del genere. Anzitutto per andare dalla $x$ alla $x’$ (e dalla $y$ alla $y’$) abbiamo il primo termine che ricorda molto l’operazione di proiettare una grandezza sull’altra, come nel prodotto scalare. Il secondo invece ci spiega tutto quel ragionamento che abbiamo fatto sul mischiare i valori tra le due componenti: come avevamo detto, la $x’$ è cresciuta rispetto alla solo proiezione della $x$ di un termine che dipende dalla $y$, mentre la $y’$ è penalizzata per un termine che dipende dalla $x$.

E se il nostro spettatore avesse ruotato dall’altra parte? Il nostro ragionamento avrebbe ruotato con la sua testa, girando i “+”, i “-” e tutto il discorso al contrario.