Table of Contents

Collana di fisica classica-Cinematica

Dove? Quando?

C’è qualcuno che ha lavorato per noi, qualcuno che ad un certo punto ha deciso che le cose che erano considerate come acquisite non lo erano affatto. E’ uno dei nostri vanti storici come italiani ed è raro non veder illuminare gli occhi ad un fisico al solo sentire il suo nome: Galileo Galiei.

La storia è nota un po’ a tutti e anche se Leonardo da Vinci ha più appeal (e non solo per Dan Brown), bisogna ammettere che anche lui si è dato il suo bel daffare. Pensate che stiamo per parlare del metodo scientifico o del telescopio? E invece no! Mi sto riferendo a quell’odiosissima situazione che trovate nella stragrande maggioranza degli esercizi di cinematica: il piano inclinato. Alzi la mano chi non si è mai chiesto perché mettere a rotolare la palla su di un piano inclinato quando si può impiegare il tempo in maniera migliore…bene ora sapete con chi prendervela, perché Galileo è stato il primo.

A sua parziale discolpa, lui non poteva sapere i disagi che avrebbe creato in qualche secolo a milioni di studenti. Il suo scopo era un altro, era trovare l’accelerazione della pallina nell’approccio più diretto possibile: contando.

La sua domanda era quanto la pallina riuscisse ad andare lontano in un certo tempo. Oggi sembra banale e non se ne capirebbe il motivo, ma al tempo l’orologio più preciso che avesse era il suo polso: i battiti del suo cuore avrebbero definito intervalli di tempo uguale. Fortunatamente per lui non dev’essere passata nessuna bella madama, ed ha avuto la possibilità di costruire una tabellina battiti/posizione della pallina.

Distanza percorsa nel tempo da una pallina su di un piano inclinato

Quello che si è trovato davanti sarà stato un disegnino molto simile a questo sopra, ed oggi diremmo che la distanza è proporzionale al quadrato del tempo ed in formule si scrive $$s\propto t^2$$

Se state pensando che abbiamo scelto una formula molto simile quando abbiamo calcolato la velocità ed accelerazione, ogni riferimento qui non è affatto casuale. Ogni volta che trattiamo di un moto uniformemente accelerato, questo $t^2$ ve lo ritroverete sempre tra i piedi, in una forma o nell’altra. Perché è un moto uniformemente accelerato? Non abbiate fretta, perché oggi mi piacerebbe parlare un po’ meglio di cosa significa chiedere dove? e quando?. Ovvero cosa intendiamo precisamente per spazio e tempo?

Il tempo

Cominciamo dal più difficile, se mi chiedete cos’è il tempo vi beccate un bel “non lo so”! Wikipedia parla del tempo come di dimensione nella quale si concepisce e si misura il trascorrere degli eventi, ma anche se la parola dimensione non spaventasse, avremmo una definizione che serve solo a mettere in ordine gli eventi. Potrei anche citarvi il completo stato di empasse di tutti coloro che hanno cercato di rispondere a questa domanda su yahoo answers.

Se ci fate caso è una di quelle definizioni che nessuno ha realmente: se è un concetto che tutti crediamo di avere, la sua definizione non può passare per contorti ragionamenti fisici o filosofici da mal di testa assicurato. Purtroppo tutti siamo convinti di sapere cos’è il tempo finché non ce lo chiedono: è quando dobbiamo spiegarlo che entriamo tutti più o meno in crisi.

Questo perché siamo diventati bravissimi ad usare il tempo, anche se magari non abbiamo proprio una definizione chiara e semplice. Direi di accontentarsi per ora, se trovassimo qualcosa direi di tenerlo per noi fino al prossimo Nobel: vi assicuro che non ce lo toglierebbe nessuno!

Quello che facciamo se abbiamo bisogno del tempo è misurarlo, usando un qualcosa che si ripeta. Abbiamo già usato la parola periodico per definire il seno ed il coseno, e questa parola fa molto scientifico! Ci serve qualcosa di periodico!

Proviamo a cominciare con i giorni. Come candidati inizialmente sembrano niente male, il giorno e la notte si alternano da chissà quanto e la sensazione che siano periodici è abbastanza forte. Eppure dobbiamo essere sicuri se vogliamo usarli come la nostra unità di misura del tempo, ed è qui che esce qualche magagna. Siamo sicuri che tutti i giorni siano lunghi sempre alla stessa maniera? Perché noi non possiamo permetterci di veder cambiare la nostra unità di misura a nostra insaputa.

Ad esempio non vi è mai venuta un’enorme tristezza ad uscire di casa alle 5 del pomeriggio di un giorno di febbraio e vedere che è già tutto buio? Ritenetevi fortunati, perché se andaste in Svezia sarebbe molto peggio! E vogliamo parlare di quando stiamo facendo qualcosa di estremameeente noioso e la giornata sembra non passare mai?

Verrebbe da dire che è vero che quel particolare giorno può sembrare più lungo dell’altro, ma mediamente i giorni hanno tutti la stessa durata. Non fermiamoci quindi alla prima difficoltà e vediamo se riusciamo a trovare qualcos’altro di periodico che ci permetta di verificare se i nostri giorni vanno bene.

I battiti di Galileo? Li scarterei subito, se non altro perché abbiamo qualche chance in più di trovare belle madame e belli madami rispetto al nostro antenato. Potremmo utilizzare l’orologio, in fondo se lo hanno inventato un motivo ci sarà. Direi che è una strada percorribile, ma come funziona un orologio? Ci possiamo fidare?

Se lo facessimo riusciremmo a vedere che un giorno è costituito da 24 ore. Noi non sappiamo ancora se stiamo sbagliando qualcosa, ma l’evento giorno sembra essere periodico nel nostro ragionamento. Avremmo che la nostra definizione di tempo si basa sulla ripetizione di un evento periodico (il giorno) che è confrontabile con un altro evento periodico (l’ora).

Gli intervalli di tempo più piccoli

Ammettiamolo, abbiamo spostato il problema: se prima non sapevamo se il giorno fosse periodico, ora non sappiamo se ad esserlo è l’ora. Il nostro orologio ci dice che, compiuto un giro completo del quadrante, l’ora si è esaurita. Ma se il giro del quadrante è periodico, allora deve esserci un qualcosa di periodico sotto che fa muovere le lancette in maniera periodica.

Lo hanno già fatto, ma immaginiamoci che stiamo inventando noi i secondi: ogni movimento di lancetta su di un orologio è un fenomeno periodico che chiamiamo secondo, e dopo 3600 secondi abbiamo un altro evento periodico, chiamato ora.

Il Nobel ancora non lo vinciamo, ma abbiamo diviso la nostra unità iniziale, il giorno, in un qualcosa che è 100000 volte più piccola, il secondo. Ma mica ci accontentiamo qui: andiamo avanti e scendiamo in qualcosa che è ancora più breve. C’è qualcosa che si può realizzare che ha un evento periodico più piccolo del secondo?

Dobbiamo entrare in un laboratorio e scoprire che c’è uno strumento che si chiama oscilloscopio a raggi catodici e che funziona esattamente come i vecchi televisori (quelli che quando li spegnevi rimaneva il pallino biancho al centro per un po’). Non li bistrattate troppo, perché il concetto di funzionamento viene sfruttato ancora oggi con strumenti fantascientifici che costano miliardi di euro! Non sempre abbiamo tanta fantasia, e se qualcosa funziona perché non riadattarla?

Questi strumenti elettronici hanno degli oscillatori al loro interno, proprio come i pendoli dei vecchi orologi. L’unica differenza è che possiamo regolare la velocità con cui oscillano ed avere tutte le velocità di oscillazione che vogliamo.

Armoniche prodotte dalla corda di una chitarra

Ora ammettete che la figura sopra non si fa guardare! Voi non ci crederete, ma queste cose si possono fare al computer usando programmi di matematica: non avete idea dell’eleganza con cui i matematici hanno a che fare. Cosa sia al momento non è importante, però guardiamo la linea rossa e quella blu: se la prima riesce a chiudere due “cunette” in tutta la lunghezza della figura, quella blu arriva addirittura a 7! Potremmo scendere fino all’azzurrina che ne conta ben 12.

Il nostro oscillatore, un po’ come la figura sopra, riesce ad oscillare anche 1000000000000 volte in un secondo. Cioé questa oscillazione è la 1/1000000000000 parte di un secondo. Non male vero? Permettetemi d’introdurvi una notazione che ci può far comodo: vorrei scendere ancora più in basso ed avere intervalli di tempo che diventano ancora più piccoli; solo che il rischio è quello di riempire le pagine di zeri. Per risparmiare qualche litro d’inchiostro, potremmo usare la notazione scientifica: dovendo considerare un numero che è molto grande o molto piccolo è proprio quello che fa al caso nostro.

Come vedete, qui è tutto un numero di zeri che seguono la cifra 1: se vogliamo capire che 1000 è il numero “mille”, noi contiamo automaticamente i tre “zeri” che seguono 1; stesso discorso con 1000000, che sappiamo essere “un milione” proprio perché ci sono sei 0. Quello che importa in fondo sono quanti zeri ci sono, e potremmo renderlo subito più evidente se dicessimo subito che “mille” è $10^3$ ed un “milione” è $10^6$. Scrivere così è molto comodo anche quando vogliamo parlare di numeri molto piccoli: nel caso dell’oscillatore gli zeri sono $12$ e possiamo dire che l’oscillazione dura $10^{-12}$ secondi. Se nessuno ha qualcosa da obiettare comincerei ad utilizzarla subito: ci tengo alle mie diottrie!

Vorrei dirvi che abbiamo già superato quello che è ritenuto da tutti l’orologio di riferimento: l’orologio atomico. Gli istuti di metrologia considerano il suo battito come unità di tempo standard, ma questo si ferma solo a $10^{-9}$: noi ora sappiamo misurare qualcosa che è 1000 volte più piccolo. Ops, scusate! $10^{-3}$ volte. Bisogna tener fede agli impegni!

Non vogliamo certo fermarci qui! Scendiamo ancora, ma per farlo chiediamo al CERN se ci fa utilizzare un po’ il suo acceleratore di particelle. Qui vedremmo ben poco, ma ci divertiremmo a fare qualcosa che sa di fantascientifico: avete presente quando avevate due macchinine tra le mani ed arrivava l’impulso irrefrenabile di farle scontrare? La forza dello scontro era proporzionale alla soddisfazione successiva: romperle era il massimo, certo poi qualche lacrimuccia per averne altre da mamma e papà era necessaria! Ecco, regrediamo e ricominciamo a giocare, solo che questa volta facciamolo con stile. Le nostre macchinine le scegliamo piccolissime, direi proprio delle particelle, così possiamo farle andare quasi alla velocità della luce prima di farle scontrare. Avete idea del botto che riuscite a creare? Qualcosa d’inaudito!

E cosa succede quando due macchinine si scontrano così forte? Si rompono! Pure le particelle fanno esattamente la stessa cosa, con l’unica differenza che i loro “cocci” sono delle nuove particelle. Ne esistono tantissime, ma tutte hanno in comune la stessa particolarità: sono sfuggenti. Potrete vederle per un tempo brevissimo prima che spariscano e si uniscano a formare nuove particelle. Di che tempo brevissimo stiamo parlando? Ognuno ha il suo, ma arriviamo anche a $10^{-24}$ secondi e oltre! Ve lo immaginate?! Tenete conto che $10^{-24}$ è il tempo che la cosa più veloce (la luce), impiega ad attraversare la cosa più piccola conosciuta (il nucleo d’idrogeno).

Non so voi, ma io mi fermerei qui: finora ogni intervallo di tempo lo abbiamo definito usando un qualcosa che ce lo misurasse, ma andare oltre avrebbe qualche significato? E’ sicuramente un’ottima domanda, e vi dirò di più, non esiste ancora una risposta. Questi punti in cui la fantasia si spinge troppo in là, distaccandosi dalla realtà, sono quelli in cui la fisica e la matematica s’incontrano con la filosofia ed escono anche delle gran litigate!

Le distanze più piccole

Saltiamo un attimo al problema della distanza. Il ragionamento dovrebbe essere lo stesso del tempo, anche se ora siamo un po’ più ancorati alla realtà. Prendendo un qualcosa di riferimento, possiamo sempre confrontarlo con quello che vogliamo e dire quanto grandi o quanto distanti sono le cose. La nostra fortuna ora è che qualsiasi cosa avremo, potremo sempre riportarlo ai nostri sensi (in particolare alla vista), e questo è un bel vantaggio: il nostro mondo per noi è fatto di luce, odori, suoni e contatti. Finché ci rimaniamo, siamo espertissimi, anche per immaginare qualcosa che non abbiamo davanti.

Se partiamo dal metro, trovare i millimetri è facile: basta disegnare mille intervalli uguali. Questa grandezza in realtà riusciamo ad immaginarcela abbastanza bene, siamo ancora nel campo che i nostri occhi riescono a coprire e mettersi gli occhiali non è barare!

Passiamo oltre e cominciamo a ragionare con grandezze che sono $10^{-6}$ metri, a questo punto abbiamo bisogno di un buon microscopio, perché direi che nessuno di noi ha la vista così acuta. Se fossimo così piccoli, riusciremmo a vedere il filo di una ragnatela come fosse un palazzo a due piani e un globulo rosso come una discreta piscina. Da qui in poi è un mondo che non conosciamo assolutamente, ma che possiamo divertirci a colorare! Sotto ad esempio avete una mie due cellule preferite (fortunatamente non proprio la mia), quella che ci permette di pensare: il neurone.

Immagine di un neurone con microscopia confocale

Se vogliamo scendere ancora dobbiamo abbandonare la luce, perché anche questa diventa troppo grande. La lunghezza d’onda della luce visibile è circa $5times10^{-7}$ e tutto quello che è più piccolo è invisibile a qualsiasi strumento basato su questo sistema.

Se vi state perdendo d’animo non fatelo, perché il micromondo non si ferma certo qui. Non serve scomodare il CERN, ma vediamo se un laboratorio più fornito ci può aiutare: ci serve un microscopio elettronico. L’immagine qua sotto ad esempio raffigura il polline: ci sono esempi di cose molto più piccole, ma non altrettanto artistiche (ormai avrete capito che all’estetica ci tengo!).

Immagine del SEM di polline

Ne esistono di tanti tipi e non potrebbe essere altrimenti: guardare le cose così piccole è leggermente più costoso di una macchinetta fotografica, e se si decide d’investire i risparmi di “un paio di vite” bisogna saper bene cosa farci. Fortunatamente abbiamo trovato finora persone molto disponibili a farci curiosare, e abbiamo scoperto che riusciamo a vedere fino a $10^{-9}$ metri. Praticamente il neurone di prima è grande più o meno come una grande città!

In realtà possiamo andare oltre, gli atomi s’ingigantiscono da massi fino a diventari grandi come la nostra casa: il nostro piccolo neurone è qualcosa di sconfinato. Siamo arrivati a $10^{-15}$ metri. Direi che è il caso di fermarsi, perché ora riusciamo appena a scorgere il nucleo di un atomo, che è grande come la macchia sulla nostra maglietta. Perché fermarsi? Perché la Natura ci ha detto che per ora è abbastanza: volendo andare più in basso dovremmo gestire delle forze enormi e purtroppo non ne siamo ancora capaci. L’unica cosa che ci permette di sprigionare queste forze sono le macchinine del CERN di prima, ma rompere tutto non è un’ottima strategia per guardare!

Il mondo e il tempo più grandi di noi

Col tempo e con la distanza però possiamo fare anche il ragionamento inverso. Invece di rimpicciolire possiamo ingrandire finché possiamo!

Per il tempo finché si parla di anni siamo abbastanza coperti: sappiamo tutti che servono 365 giorni per completare un anno, e la Natura a volte li registra anche (con gli anelli degli alberi ad esempio). Se però vogliamo allungarci, allora potremmo utilizzare un ragionamento simile a quello con le particelle del CERN. Vi ricordate che abbiamo detto che erano sfuggenti e dopo poco sparivano? In realtà c’è un fenomeno associato a scenari catastrofici che può fare al caso nostro: la radioattività.

Mettete da parte l’Uranio e le bombe atomiche, e prendiamo qualcosa di molto più tranquillo come per esempio il Carbonio. Una sua particolare forma (detta isotopo $C^{14}$) è un elemento radioattivo che potrebbe aiutarci. Tutti gli elementi radioattivi infatti, perdono la loro radioattività di una stessa frazione per ogni ben fissato intervallo di tempo.

Il nostro nuovo elemento dimezza la sua radioattività ogni 5000 anni e questo può sicuramente essere utilizzato a nostro vantaggio. Visto che siamo abbastanza bravi da rilevare anche piccolissime tracce, riusciamo a datare oggetti vecchi anche 100000 anni con questo metodo.

Se non vi basta possiamo andare oltre, solo che questa volta ci serve l’Uranio. Magari bardiamoci bene, ma state tranquilli che ne vedremmo così poco che non c’è pericolo. Sappiamo che l’Uranio quando decade diventa piombo, quindi se ci andiamo a cercare delle rocce, dovremmo riuscire a vedere quanto ce n’è di ciascuno, e risalire all’età della roccia. Tenetevi forte perché siamo arrivati all’età della Terra, che è circa 4,5 miliardi di anni.

Oltre, per quanto ne sappiamo c’è solo l’universo, lui sì che è vecchio! Arriva a quasi 14 miliardi di anni. E questo è anche il nostro limite, perché ritroviamo ancora una volta la domanda se ha senso andare avanti per avere dei numeri che non possiamo associare a nulla di reale o immaginato.

Abbiamo tutti i limiti del tempo, sia sul piccolo che sul grande. E lo spazio fino a che punto può arrivare? Abbiamo la Terra-Luna se vogliamo partire subito forte, la Terra-Marte, la Terra-Sole. Quest’ultimo arriva a circa $1,5times 10^{11}$ metri, ma sappiamo che c’è di più perché il cielo di notte è riempito di stelle lontanissime!

Immagine di della nebulosa CRAB

Bisogna pensarci e lavorarci, ma arriviamo anche a sapere quanto siamo distanti dal centro della nostra Galassia: ben $10^{20}$metri. Ed è recentissima l’osservazione della galassia più lontana mai vista: io per esempio l’ho letta giusto ieri, ma lo sentirete spesso in questi giorni. Con questa abbiamo un esempio pratico che ci porta anche a $10^{25}$ metri, ma possiamo fare ancora un altro passo e fissare il nostro limite a $10^{26}$ metri, che è il limite dell’universo osservabile. Attenzione, osservabile, perché non abbiamo la più pallida idea se il nostro bel contenitore sia infinito o meno…