Il centro di massa: l’arte di accontentarsi

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Parlare del centro di massa è uno dei rari casi in cui la fisica dei libri è molto più semplice della vita reale.

Non ci credete? E allora imparate a camminare. Ma non normalmente, sarebbe troppo semplice, fatelo su un filo da equilibrista. Vi renderete conto di quanto sia più comodo sentirne parlare che provare a metterlo in pratica!

Trasformare un bastone in un punto materiale

Vi siete mai chiesti cosa succede quando lanciate un bastone durante una passeggiata in spiaggia col vostro cane? Il mio non se ne preoccupa molto in realtà, è talmente concentrato a prenderlo che il suo mondo finisce lì. Anche giustamente.

Per quanto ci riguarda, siamo abituati a immaginarci una parabola: il bastone sale e prosegue nel suo cammino, ma la forza di gravità prosciuga inesorabilmente la sua energia e lo riporta a terra.

Padrone lancia il bastone al cane

Eppure è molto impreciso, perché non state mica lanciando una freccia che può proseguire rigida nel suo cammino (e non è neanche così vero). Il bastone ruoterà su se stesso, magari in modo disordinato, prima di piantarsi in mezzo alla sabbia o galleggiare sull’acqua. Il mondo è molto più complicato del punto materiale con cui abbiamo avuto a che fare fino adesso.

Voi mi direte che sì, ho ragione, ma ci si può anche accontentare. Stiamo guardando tutto il bastone, non solo quel pezzo di corteccia che si sta staccando. E mi sembra giusto, perché faticare più del dovuto? Però serve capire chi è che fa questa parabola, perché per ogni sua parte è tutto un oscillare, vibrare e ruotare. La risposta è semplice e allo stesso tempo confusionaria: il bastone. Nessuna componente in particolare, ma la sua totalità.

Tutti quei movimenti complicati ci sono perché abbiamo voluto essere precisi. Proviamo invece a sfocare la vista, ad allontanarci abbastanza da non riuscire più a distinguere questa confusione. Ci rimane soltanto il bastone che lascia la nostra mano e attera un po’ più lontano. Siamo tornati al punto di partenza: il bastone nel suo insieme è un punto materiale.

E questo non lo butterei affatto, perché è una grandissima conquista. Faremo sempre in tempo a diventare più precisi se dovesse servire. La divisione del lavoro non è mai un approccio sciocco, soprattutto quando si guardano cose molto complicate. Andate a studiare il pezzo di corteccia che si sta staccando se non vi fidate! Certo, se è necessario farlo uno si mette l’anima in pace e si avventura, ma se non dovesse servire? Se bastasse semplicemente trovare il modo per tirare il bastone ancora più lontano? Si può cambiare l’angolo, lasciare un po’ prima, un po’ dopo, caricare di più la spalla o posizionare meglio i piedi. In tutti questi discorsi il pezzo di corteccia difficilmente influenzerà il risultato. Si, ma come si fa?

Un corpo è formato da un numero inimmaginabile di atomi. Visto che insieme partecipano a costruire il nostro pezzo di legno, sicuramente devono interagire. Quindi ciascuno di loro sentirà una forza, una semplicissima $\vec{f}_i=m_i\vec{a}_i$. La correzione relativistica per il lancio di un bastone sembrerebbe un po’ eccessiva non trovate? Ho un bel braccio, ma non esageriamo.

Queste forze li farà aggregare in molecole, che si aggregheranno in cluster, che si aggregheranno in parti, che formeranno il bastone. Ciascuno avrà la sua $\vec{f}_i$.

Conoscerle tutte esattamente richiederebbe un po’ troppo lavoro per un momento di svago con il proprio cane, a noi basta capire solo che cosa disegni la parabola. Per cui sommiamole tutte. Non letteralmente, ci basta solo immaginare di farlo. Sicuramente non ci verrà fuori zero: il bastone si muove, quindi qualcuno deve spingere più da una parte che dall’altra, se tutto fosse in equilibrio starebbe fermo.

Troveremo una forza netta, una risultante che sarà il risultato dello squilibrio della totalità delle sue parti. Sembra una cosa complicatissima a pensarci: non avere la più pallida idea di che cosa formi quel sistema e riuscire comunque a tirarne fuori qualcosa. Com’è possibile?

Semplicemente usando l’approssimazione come lo strumento più potente che abbiamo. Con questa siamo riusciti a costruire un quadro pazzesco da cui abbiamo tirato fuori delle leggi da rispettare. La più incredibile è anche la più indiretta: la terza legge di Newton. Negli atomi ci saranno urti, ondeggiamenti, attrazioni, repulsioni e chissà che cos’altro. Dovremmo sommarle tutte insieme, dovremmo, perché in realtà non ce n’è alcun bisogno.

Se una particella spinge un’altra, la prima darà un contributo alla somma, la seconda l’esatto opposto. A due a due, tutte si elidono e possiamo dimenticarci di quel mondo complicatissimo del molto piccolo. La forza risultante è proprio la causa dello squilibrio, il motivo per il quale il bastone non sta fermo: il mio braccio. Per il terzo principio sarà proprio la somma di tutte le forze su tutte le particelle che costituiscono il bastone.

Il baricentro, o centro di massa

Per cui c’è ora una forza complessiva $\vec{F}$, ma dove dobbiamo applicarla? $\vec{F}$ è un vettore e l’intensità e la direzione non sono sufficienti senza il punto di applicazione. Se stiamo paragonando il bastone a un punto materiale, ci serve sapere almeno dove questo si trovi. E’ necessario per le nostre semplificazioni.

Questi sembrano artificiosi discorsi accademici, ma solo perché compaiono delle formule, non mi venite a dire che non avete mai sentito parlare di baricentro! Gli equilibristi su di un filo, i ginnasti con il loro corpo, i giocolieri con qualsiasi cosa passi loro sottomano, ma anche i calciatori con un pallone. Tutti stanno cercando di controllare il loro baricentro per essere e rimanere in equilibrio. In realtà si potrebbe andare ancora indietro e considerare un qualcosa di molto più semplice. O meglio, lo è per noi ora che lo abbiamo acquisito, perché al tempo ci ha creato non pochi problemi. Imparare a camminare.

imparare a camminare

In tutti questi casi lo scopo è controllare la posizione del baricentro per trovare l’equilibrio. Non si calcola carta e penna, lo si sente e lo si corregge istante dopo istante. Che è molto più complicato!

Dobbiamo considerare che quel braccio steso verso sinistra ci sta spostando troppo ed è il caso di allungare la gamba destra per bilanciare. Se la schiena è inarcata il peso è sbilanciato in avanti e la testa va tirata indietro. E’ un continuo equilibrare le diverse parti: quello che stiamo cercando di fare è distribuire il peso. Ovvero posizionare il baricentro in un punto di equilibrio, proprio dove le forze si bilanciano.

Avremmo lo stesso risultato cancellando la forza di gravità. E’ un po’ troppo, quindi ci preoccupiamo di posizionare correttamente le $\vec{f}_i$. Non c’interessa quello che fa la singola, la cosa importante è il comportamento complessivo. Se vogliamo imparare a camminare, la testa e tutto il busto saranno le parti più importanti, ma un’intera gamba contribuirà più di una mano. Non solo stiamo mediando tra le diverse parti, ma lo stiamo facendo pesando i contributi.

Animazione della rotazione del sistema Terra-Luna

Vi ricordate questa immagine? L’abbiamo incontrato quando abbiamo parlato di come la gravità potesse spiegare le maree.

Concentriamoci sulla croce rossa, sulla sua posizione. Perché sta lì? E dove sarebbe se al posto della Terra ci fosse un’altra Luna? La prima vorrebbe che il suo satellite le girasse intorno, quest’ultima che fosse la Terra a farlo. Se i due “sassetti” fossero uguali, l’attrazione sarebbe la stessa e tutti e due sarebbero spinti allo stesso modo. Si finirebbe per mettere la crocetta esattamente al centro. Quando uno dei due cresce, il suo peso relativo farà altrettanto e la sua attrazione prevarrà: la crocetta si avvicinerà e sarà costretto a muoversi di meno.

Per esempio potremmo guardare la Terra e il Sole, la disparità è così grande che la crocetta è quasi esattamente al centro di quest’ultimo: l’effetto del nostro pianeta è così ininfluente che è trascurabile. La Terra gira intorno al Sole, e non viceversa. E’ lo stesso discorso che potremmo applicare a ciascuno di noi rispetto al nostro pianeta.

Quando cerchiamo il baricentro si fa esattamente la stessa cosa: si pesano i contributi. Vogliamo considerare quanto influisce la posizione del pezzo in posizione $\vec{r}_i$? Dobbiamo guardare il rapporto tra la sua massa e quella totale, in questa maniera possiamo sapere quanto è importante il singolo contributo. La posizione del baricentro a questo punto è una semplice media $$ \vec{R}=\sum_i\frac{m_i}{M}\vec{r}_i $$

In questa maniera sappiamo che la forza del mio braccio $\vec{F}$ dovrà essere applicata al bastone di massa $M$, nel punto $\vec{R}$ e produrrà un’accelerazione $\vec{A}$. Da questo momento in poi possiamo totalmente dimenticarci del movimento d’insieme e guardare cosa succede nel particolare.

Ora i moti “interni” sono separati e possiamo cominciare a parlare della rotazione del pezzo di corteccia.