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Collana di Fisica Classica- Relatività

Perché la velocità della luce è vale quanto la velocità della luce?

Ormai con questo strano mondo del molto veloce cominciamo a prenderci una certa familiarità. Pur di non superare la velocità della luce, lo spazio e il tempo si modificano, mentre la massa cresce a dismisura.

Ma perché la velocità della luce vale proprio quanto “la velocità della luce”? Perché invece di 299.792,458 km/s non abbiamo un limite a 10 o a 500 km/h? Secondo me sarebbe stato molto più divertente! Vedremmo il mondo come attraverso uno specchio da luna park che distorce tutto. Ancor meglio, perché il concetto di appuntamento avrebbe avuto molto meno ragione d’essere. Per quanto mi riguarda una bella comodità.

Siamo abituati ad avere delle formule piene di lettere e simboli. I numeri in fisica spesso vengono evitati per lasciare il posto al calcolo letterale. Eppure ci sono. Ne abbiamo trovato uno per la forza di gravità, e ora siamo inciampati sul secondo.

Dobbiamo accettare che questi numeri si nascondino tra le equazioni e le formule di fisica anche se cerchiamo di nasconderli. Alcuni escono fuori dalla matematica pura, come per esempio $\pi$. Basandoci sulla sua definizione, ne conosciamo il valore fino a miliardi di numeri dopo la virgola. Certo non è l’unico, per esempio anche $\sqrt{2}$ o $e$ (il numero di Eulero) godono di discreta popolarità.

Eppure altri numeri con cui abbiamo a che fare nel mondo reale sembrano usciti fuori dal nulla, non hanno nessuna base matematica. Semplicemente ci sono.

Se scendiamo in un mondo inesplorato come la fisica nucleare, scopriamo che il rapporto tra la massa del protone e quella del neutrone è un altro numero magico. E’ sempre lo stesso senza eccezioni, vale 1,001378. Nel caso vogliate aggiungere qualche altro decimale non ve la caverete come con $\pi$. Dovete andare in laboratorio e misurare.

Questi e altri numeri hanno un nome molto pomposo, sono chiamati costanti di natura. Ce ne sarebbe da parlare, perché discutendo discutendo si può anche arrivare ad accettare un disegno divino…ma questa è un’altra storia.

Alla domanda iniziale però non abbiamo ancora risposto: perché la velocità della luce vale proprio quel numero? Beh la risposta è semplice.

Boh.

Particelle in movimento

Non è proprio tutto relativo

Accettiamo questi numeri come caduti dal cielo e torniamo a fantasticare sul mondo superveloce. Una di quelle cose che ha spopolato in questi anni, quasi quanto $E=mc^2$, è sicuramente il paradosso dei gemelli. Che poi, diciamocela tutta, così tanto paradosso non è.

Tutti quanti usano due gemelli per enfatizzare, ma diamoci un tocco di classicità e scegliamo Paolo e Francesca.

Non mi azzarderò a chiedere l’età. Da bambino mi è capitato di farlo con le signore e non mi posso dimenticare le borsettate di mia madre (anche se mai capirò perché). Comunque più o meno siamo lì no? Carichiamo Francesca sulla navicella e lasciamo Paolo a terra.

Abbiamo visto le trasformazioni di Lorentz, e abbiamo capito che tutto è in mano allo spazio, al tempo e alla massa. Queste si modificheranno perché nulla vada più veloce della luce o possa infrangere il principio di relatività.

E’ chiaro che Francesca possa sospettare che si trovi nella spazio. Scambiare una navicella per la propria casa non è da tutti. Però nulla dovrebbe farle capire che cosa sta accadendo: il battito del cuore, la frequenza del respiro, gli orologi, la fame e persino i bisogni fisiologici. Tutto rientra nella normalità. Non dovrebbe notare nulla d’insolito, che il tempo sia rallentato lo può solo sapere perché ha letto qualche cosina in proposito. Quindi al ritorno non dovrebbe essere così sorpresa che Paolo è abbastanza invecchiato dall’ultima volta.

Ora però complichiamoci un po’ la vita. Perché si fa presto a dire che tutto è relativo! Se proprio lo fosse, significa che abbiamo una magagna.

Noi siamo proprio sicuri che Francesca torni più giovane di Paolo? Finché tutto è relativo non c’è un punto di vista privilegiato. Questo significa che il discorso può essere tranquillamente rigirato.

A parte un minimo di buon senso (che però non possiamo usare troppo in discorsi scientifici) chi vieta a Francesca di dire che lei è sempre stata ferma con la sua navicella? E’ stato Paolo a schizzare via con tutto l’Universo.

Non le si potrebbe dare torto, le percezioni sono corrette per qualsiasi punto di vista. Eppure ora abbiamo un problema. Se non sappiamo se sia stata lei a essere tornata sulla Terra oppure l’Universo a rimettersi al suo posto, come facciamo a vedere chi è più giovane? Finché abbiamo sostenuto che fosse Francesca a viaggiare alla velocità della luce tutto tornava, ma se invece avesse ragione lei? Dovrebbe essere l’Universo ad aver rallentato il tempo.

Se tutto è relativo, ci potrebbe essere un evidente problema di simmetria.

Si incontrano tutti e due che hanno la stessa età? Così sarebbe un vero paradosso, e lo sarà finché non guardiamo più attentamente la situazione.

Nel momento in cui Paolo e Francesca si separano, c’è un qualcosa che è vero sotto tutti i punti di vista: che si separano. Questo significa che abbiamo un bel problema se vogliamo farli incontrare di nuovo.

Qualcuno deve tirare il freno a mano e uscire dal suo moto rettilineo uniforme, e chiunque lo farà saprà che non era fermo. Nel momento in cui Francesca inchioda, vedrà le cose spiaccicarsi davanti. Il sistema non è più inerziale e lei avrà la prova tangibile che il buon senso fa sempre comodo.

Anche in questo mondo relativo, qualcosa di assoluto come le accelerazioni sono lì a darci una mano per farci capire qualcosa.

La correzione della velocità

Quando due osservatori hanno un moto relativo lungo la sola componente x, le leggi di trasformazione di Lorentz non sono “troppo” ingarbugliate: $$ \begin{align} x’&=\frac{x-vt}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\\ y’&=y\\ z’&=z\\ t’&=\frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align}$$

Per deformazione professionale ci siamo sempre messi dal punto di vista dell’osservatore fermo, ma nulla ci vieta di cambiare posizione. Potremmo anche chiederci se il nostro sistema sia in grado di spiegare cosa vede quello in movimento. Le equazioni si possono “capovolgere” senza alcun problema, come noi possiamo cambiare punto di vista con una certa agilità (concettuale, s’intende).

Quello che succede è che cambiamo i versi di percorrenza, quindi l’unica cosa che dovrebbe accadere è che “+” diventeranno “-”. Questo ci basta perché il nostro discorso continui ad essere coerente: $$ \begin{align} x&=\frac{x’+vt’}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\\ y&=y’\\ z&=z’\\ t’&=\frac{t+ux’/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align}$$

Divertiamoci ancora un po’ a saltare da un sistema di riferimento all’altro, spingendo sul limite della velocità della luce. Recuperiamo la nostra navicella e portiamola ad una certa velocità $u$. Facciamo muovere qualcosa con una velocità $v_x’$, avanti o indietro, per qualcuno che si trova all’interno della navicella. Vogliamo sapere la velocitù $v_x$, vista dall’osservatore a terra. C’interessa la relazione tra le velocità, se è vero che non possiamo selvaggiamente addizionarle. Quel maledetto limite della velocità della luce è sempre in agguato.

Anzitutto lo spostamento, sulla navicella sarà semplicemente $$x’=v_x’t'$$

E’ per l’osservatore sulla Terra che si prospetta qualche calcolo in più. Dovrà mischiare le relazioni che legavano la $x$, la $x’$, la $t$ e la $t’$. Con qualche calcolo troverà che $$v_x=\frac{x}{t}=\frac{u+v_x’}{1+uv_x’/c^2}$$

Cioé la velocità dell’oggetto che si muove nella navicella non è soltano la somma delle velocità. Quel fattore al denominatore ci leva da qualsiasi impiccio correggendo il risultato finale.

Poniamo che ci stiamo muovendo a metà della velocità della luce in una navicella che va a metà della velocità della luce, che cosa vede l’osservatore a terra? Per lui quanto fa “metà” più “metà”? Usando la nostra nuova formuletta sembra proprio che “la matematica diventi un’opinione” $$v=\frac{0.5c+0.5c}{1+0.25}=\frac{4}{5}c$$

Per la relatività, sommando due metà si trova 4/5 invece che 1! Per le piccole velocità, quel denominatore è solo piccolissimamente più grande di 1 e il nostro mondo rimane sempre lo stesso. E’ nel campo delle alte velocità che si fa sentire e succedono cose veramente singolari.

E’ come se il mondo si dividesse in due: da una parte il nostro, dall’altra quello relativistico. Strano, ma affascinante.

Relatività nei moti trasversali

Naturalmente il mondo non è sempre così semplice, ci sono anche quei casi in cui la navicella si muove nella direzione x e qualcosa all’interno si dà da fare in quella y. Per esempio possiamo pensare di prendere una pallina da tennis e farla rimbalzare tra il soffitto e il pavimento. Qui che succede?

La pallina da tennis farà esattamente la stessa cosa per tutti? Visto che sarebbe comodo, lo possiamo scartare subito!

Per noi che siamo sulla navicella si muoverà solo su e giù. Niente avanti, indietro, destra o sinistra. Di tutte le componenti che abbiamo a disposizione ce ne basta una per descrivere tutto il suo rimbalzare.

Eppure per l’osservatore sulla poltrona di casa sua, i discorsi cambiano. Quel moto rettilineo si trasforma magicamente in un battimuro a zig zag. Con la navicella, la pallina sta anche avanzando e c’ingarbuglia tutto. Se non ci credete provate a sostituire la pallina con un fascio di luce. Saremmo bloccati ancora una volta con il limite della velocità.

Moto relativo tra due sistemi di riferimento

Ci ritroviamo ancora una volta ad aver a che fare con la direzione “folle”. Quella che ci fa accorciare lo spazio e allungare il tempo. Alla luce serve un tempo più lungo per percorrere un cammino a zig zag rispetto ad uno verticale, e questo rispalanca le porte al principio di relatività. Dato che non possiamo accorgerci di nulla, qualcosa deve succedere.

Saccheggiamo dalle equazioni di prima le equazioni della $z$ per vedere come cambia la quota della pallina. Sappiamo che $z=z’$, cioé se un oggetto sta un metro dal terreno per me che sono sulla navicella, lo sarà anche per voi che siete sulla Terra.

Se lasciamo stare la luce e usiamo la pallina da tennis, possiamo dire che la sua velocità dal mio punto di vista sarà $v_{z’}$ e dal vostro sarà $v_{z}$. Non saranno uguali, questo lo sappiamo, e quindi come cambiano?

Dobbiamo rifare lo stesso giochino di sostituzioni di prima. La pallina cambia la sua quota con la mia difficilissima formula $z’=v_{z’}t’$ e con la vostra difficilissima formula $z=v_{z}t$. Basta solo capire come legarle.

In realtà il gioco è presto risolto. Ci basta capire come cambia il trascorrere del tempo tra me e voi. Voi avete il vostro orologio con $t$, io ho il mio con $t’$. E sappiamo che si possono interscambiare: $$t=\frac{t’+ux’/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

Il denominatore è sempre il solito, mentre al numeratore dobbiamo sommare qualcosa che dipende dal moto della pallina nella direzione della navicella, vista dal mio punto di vista.

E’ vero che per voi sta facendo zig zag, ma per me va solo in alto e in basso. Non c’è alcuno spostamento nella direzione $x’$ e non ci poteva andare meglio. Possiamo eliminare tutto l’ultimo pezzo e dire che $$t=\frac{t’}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

A questo punto il gioco è fatto, perché sappiamo che $z=z’$ e sappiamo legare $t$ e $t’$. Ricombiniamo tutte le formule e possiamo capire cosa succede anche con le velocità, in qualsiasi direzione. $$v_z=v_z’\sqrt{1-u^2/c^2}$$

Credo proprio che dobbiamo rassegnarci, quel fattore $\sqrt{1-u^2/c^2}$ è ovunque!