// Stylesheet

La rotazione rigida è un film già visto

abstract

Le cose non si muovono solamente, ma ruotano anche. Ci sono tanti modi per farlo e noi cominciamo con il più semplice.

E lo è veramente, perché non c'è nulla da sapere in più di quello che abbiamo già visto con la cinematica del punto materiale. Serve solo il concetto di radiante, il resto viene tutto da sé. Non c'è nulla da imparare, visto che siamo abituati a giocare con la trottola e l'hoola hoop. In confronto è una passeggiata di salute!

La cinematica della rotazione rigida, un vecchio cliente.

Avere il centro di massa, saperlo calcolare, significa cominciare a semplificare un problema complicato. E’ chiaro che il capello non lo spaccheremo a meno di non essere pronti a lacrime e sangue, ma il movimento di un semplice punto non è sempre sufficiente.

Sequenza gufo volo

Possiamo anche non volerci tanto male e guardare un gufo che vola, tralsciando tutte le sue vibrazioni e il suo battito d’ali. Lo abbiamo già fatto quando abbiamo introdotto il punto materiale. Ora però possiamo fare un passetto avanti e cominciare a guardare come ruota. Non tutto, sarebbe troppo, anche qui abbiamo bisogno di un’approssimazione.

Dobbiamo eliminare la deformazione, tutti i moti relativi che potremmo trovare all’interno di un corpo complicato. Quello che rimane si chiama corpo rigido. Non è il massimo per un pezzo di gomma, ma potrebbe starci benissimo se pensiamo a una trave di cemento armato: è un corpo i cui atomi sono uniti così fortemente che nessuna forza esterna riesce a modificare: se si muove, lo farà tutto insieme. E’ come avere in mano un sasso: potete spostarlo, ruotarlo, lanciarlo ma non deformarlo.

Se però vogliamo assegnare lo spostamento al centro di massa per concentrarci sulla rotazione, le cose possono diventare tranquillamente ingarbugliate. Ruotare significa comunque spostarsi, e anche in una maniera poco intuitiva. Tutti i punti si muovono anche se globalmente stanno fermi. E non è mica così facile detta così! Se vogliamo spiegare una cosa come questa, rimboccarsi le maniche mi sembra il minimo.

Rotazione della Terra

La strada dello spostamento così com’è si rivelerebbe un vicolo cieco. Ciò che succede all’equatore è così diverso dai poli che chiunque rinuncerebbe. Eppure da qualche parte l’analogia con lo spostamento si vede, c’è. Tutti quanti si spostano in una qualche maniera comune, anche se all’atto pratico lo fanno in maniera diversa.

Il segreto di tutto è nascosto in un tergicristallo. L’asta ruota in maniera rigida, ma maggiore è la distanza dal perno più grande è il cammino percorso. Il punto più in alto percorre un cammino rosso più lungo di quello più in basso, eppure i 3 punti raggiungono la fine corsa contemporaneamente. L’arco disegnato dai 3 è sempre lo stesso, cambia solo la loro dimensione. Questo è un dato di fatto oltre che un buon indizio.

Stesso angolo distanza diversa

Se così non fosse il tergicristallo si deformerebbe, c’è qualcosa di comune nel moivmento per assicurare la rotazione rigida. E’ la nostra chiave e non è nient’altro che l’angolo. Prendete una delle 3 figure, guardate il cammino rosso percorso, dividetelo per la distanza dal perno e avrete un numero che non cambia in ciascuno dei 3 momenti. Questa particolare definizione dell’angolo è quella di radiante. Se la distanza tra un punto rosso e il perno è $r$, allora avremo un radiante quando il percorso rosso compiuto sarà esattamente lo stesso.

Definizione di radiante

Questo apre tutto un altro mondo, perché la rotazione diventa la variazione dell’angolo nel tempo. Praticamente possiamo ricominciare tutta la cinematica: come abbiamo parlato di posizione e velocità in una dimensione, possiamo spostare l’attenzione alla posizione angolare e alla velocità angolare in una rotazione piana. C’è un’analogia per tutto.

  • L’angolo $\theta$ della rotazione rimpiazza la distanza $x$ percorsa.
  • L’entità di variazione dell’angolo ci dà la velocità di rotazione $\omega=d\theta/dt$, come $v=dx/dt$ ci dice la rapidità di variazione della posizione. Maggiore è la velocità angolare, più in frettta ruota l’oggetto, più rapida è la variazione dell’angolo.
  • Naturalmente possiamo andare oltre e parlare anche di accelerazione angolare, semplicemente $\alpha=d\omega/dt$, che fa il paio con la normale accelerazione.

Non è altro che un modo per riciclare la nostra forma mentis del punto materiale in una situazione diversa. Tutto quello che sapevamo fare prima lo sappiamo fare anche ora, con qualche accortezza in più.

L’asse di rotazione e il verso con cui le cose girano

Mettiamo subito le cose in chiaro: c’è rotazione e rotazione. Sui libri si trovano sempre le perfette rotazioni circolari, ma non saremo mai così fortunati. Non ci può essere un oggetto che ruoti in maniera più ovale, o che magari va avanti e poi torna indietro? In questi casi che si fa?

Niente di più di quello a cui siamo abituati, il calcolo differenziale serve esattamente a questo. Le rotazioni impossibili di serpentine impazzite possono essere scomposti in pezzi piccolissimi, finché non abbiamo una collezione di rotazioni circolari. Negli spostamenti trasformavamo le traiettorie curve in tanti pezzetti tangenti e rettilinei, qui le rotazioni strane diventano tante parti di rotazioni tangenti e circolari. In fondo basta essere ferratissimi sulle circonferenze e il resto viene da sé.

Ma questi cerchi dove li piazziamo? Come si guarda la rotazione della Terra di prima? Potrebbe essere un qualcosa di complicatissimo se non fosse che con tutte queste cose ci siamo cresciuti. Avete mai giocato con l’hoola hoop? Avete mai fatto ruotare un mazzo di chiavi intorno a un vostro dito? Avete mai preso in mano una trottola? Riuscite a vedere dove cercare il cerchio che ruota?

La matematica della trottola

Non guardiamola appena lanciata oppure quando sta per fermarsi, immaginiamocela che gira stabilmente. Provate a cambiare punto di vista alla ricerca del cerchio. C’è una cosa che sembra praticamente immobile, l’asta su cui si trova il perno. Ci rendiamo conto che rotea solo per le venature del legno, e perché se tutto gira lei non può essere da meno. E’ una parte molto particolare, tanto da meritarsi un nome proprio: asse di rotazione.

La rotazione piana avviene sempre intorno a questa “linea fissa”: lo è la persona stessa che gioca con l’hoola hoop, oppure il dito della vostra mano su cui ruotano le chiavi. E’ il riferimento con cui trovare il cerchio è una passeggiata: basta guardarlo da sopra e l’asse diventa un “punto”, il centro di rotazione. Proprio come il nostro perno dei tergicristalli. Basta allargare lo sguardo per vedere che intorno a questo, tutti gli altri disegnano le loro circonferenze.

Chiaramente l’asse di rotazione non è sempre fisicamente visibile, a volte bisogna immaginarselo. Per esempio, con la Terra di prima è una linea che attraversa i poli. Se vogliamo vedere i movimenti circolari dovremo piazzarci proprio di fronte a uno dei due e la rotazione farà il resto. In fisica si parla dell’asse di rotazione come di un vettore diretto perpendicolarmente al piano di rotazione. Magari molto pomposo, ma serve soltanto a mettersi d’accordo su come guardare le cose.

Per quanto riguarda la direzione, ci sta solo specificando di metterci dove vedremo i cerchi roteare, eppure questo non basta: che parte scegliamo? Sopra o sotto? Prendete le lancette di un orologio o una vite da avvitare. Io ci ho messo una vita a capire in quale verso bisognava girare le cose. E’ facile dire “in senso orario”, mi dovete prima spiegare rispetto a chi! Ve lo giuro, sono stato indotto in allucinanti trip mentali che un bambino non dovrebbe mai trovarsi a vivere. Se una vita la guardate dalla parte sbagliata, vi renderete conto che ciò che è orario diventa magicamente antiorario. Non vi racconto lo scoramento e il senso di abbandono finché non sono riuscito ad uscirne.

E’ per evitare situazioni come le mie che si è pensato di usare i vettori. Se la direzione è semplice da intuire, serviva anche specificare un verso per essere sicuri da che parte guardare la rotazione. Vi ricordate il discorso sul rotore? E’ esattamente la stessa cosa: così siete sicuri di distinguere il senso orario e antiorario. Voi direte quello che volete, ma l’ho trovato subito più chiaro di “la vite si gira così”!

La Terra dal Polo Nord