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Collana di Fisica Classica- Relatività

Quadrivettori

Con le trasformazioni di Lorentz il nostro mondo si è complicato un bel po’. Lo spazio si accorcia e il tempo si allunga, cose dell’altro mondo con cui non siamo abituati a trattare. Dobbiamo mettere da parte la nostra reticenza e lasciar stare la nostra esperienza.

La prima cosa da fare è rivoluzionare il nostro sistema per giudicare spazio e spostamenti: dobbiamo capire come riaggiustarci i vettori.

Pensiamo per un momento di inventarceli ancora una volta per capire che cosa non va. Abbiamo lo spazio intorno a noi e lo dividiamo in tre direzioni: due per il terreno sotto i nostri piedi e la terza per guardare quanto si staccano da questo le cose che guardiamo. Siamo confidenti che le cose funzionano, perché partendo da qui non ci sono casi che non funzionano. Possiamo addirittura ruotarli, questi componenti, e tutto continua a filare liscio come l’olio.

Il motivo è semplice, c’è un qualcosa di “assoluto” nella nostra definizione che ci aiuta molto. Il mio metro a destra è il vostro metro, magari bisogna mettersi d’accordo su cosa sia destra, ma siamo tranquilli che si può fare. Per quanto abbiamo capito in anni e anni di esperienze, lo spazio nel mondo è uguale per tutti, è una specie di palcoscenico immutabile in cui noi scorrazziamo. E’ per questo che ci siamo azzardati a creare la $\hat{x}$, la $\hat{y}$ e la $\hat{z}$. Singolarmente potranno cambiare in base a come ci comportiamo, ma nel complesso sta sempre tutto là.

Ora la relatività ci sta dicendo di buttare tutto. Il mio metro non è più il vostro metro se andiamo a velocità diverse. E questo è un problema.

Vogliamo tornare ad avere qualcosa di sicuro a cui appoggiarci, ripartiamo da cosa abbiamo capito. Stiamo andando ad una certa velocità rispetto ad un nostro amico? Lo spazio si distorce nella direzione di marcia e il tempo fa altrettanto. La velocità influenza entrambi, è come se i valori “si mischiassero”. E per nostra fortuna abbiamo già incontrato qualcosa di simile. Vi ricordate quando abbiamo parlato di rotazioni? Anche lì la $x$ e la $y$ si influenzavano i valori l’uno con l’altro. Potrebbe essere un buon punto di partenza.

Le componenti ruotano e s’influenzano l’un l’altra, ma l’oggetto è sempre uguale a sé stesso. Come si fa ad avere una cosa del genere?

Invarianza 1D

Trasferiamoci nel mondo ad una sola dimensione. Niente più curve o salti, in questa strana realtà tutto si trova su una linea. Semra assurdo, ma lo facciamo ogni giorno quando ci concentriamo sul tempo: partendo dal presente, si può solo andare verso il futuro o tornare indietro nel passato (anche se quest’ultima è un po’ complessa).

Come abbiamo sempre fatto, segniamo la nostra origine nel punto O e scegliamone un altro ad una certa distanza alla sua destra, lo chiamiamo B. Se i nostri occhi guardano “avanti”, allora B ce lo troviamo di fronte. In tutto il nostro mondo su una linea, c’è un’altra posizione speciale. A. Se infatti giriamo il nostro mondo in maniera tale che B precede O, allora A e B si scambiano i ruoli. Questi due punti hanno qualcosa in comune. Diciamo che B si trova in posizione $2$, siamo così bravi con questo gioco che B lo piazziamo subito in $-2$.

La regola è semplice: possiamo girare il verso tutte le volte che vogliamo, basta che A e B si possano scambiare di posto. C’è qualcosa. $2$ è diverso da $-2$ e non possiamo prendere direttamente i numeri, eppure se scaviamo nelle regole matematiche, scopriamo che $(2)\times (2)=4$ e che $(-2)\times (-2)=4$. Interessante, quello che hanno in comune questi due numeri è il quadrato!

In un mondo su una linea, questo è quello che ci serve per essere sicuri che A e B si possano scambiare per avere il palcoscenico immutabile.

Passiamo in due dimensioni, per vedere che cosa succede. Il mondo diventa più ricco, ora è piatto come una mappa e un po’ di libertà in più non fa male.

Invarianza 2D

Possiamo fermarci in un qualsiasi delle coppie colorate e nulla cambierebbe per loro. I punti O, A e B rimarrebbero sempre allineati uno rispetto all’altro, esattamente come con una dimensione in meno. In questo mondo piatto, il qualcosa che ci serve per il nostro palcoscenico immutabile ora ha a che fare con una circonferenza. Se da O ruotassimo di un po’ su noi stessi, il mondo dovrebbe fare altrettanto sui suoi circoli per non farci accorgere delle differenze.

Dalla geometria rubiamo la formula della circonferenza e sappiamo che in un mondo piatto la somma dei quadrati dei due componenti deve rimanere costante. Qualsiasi rotazione decidiamo di fare.

Prima di passare nel nostro mondo tridimensionale, scopriamo la relatività. Finora la storia dei circoli ci sta dicendo che, perché tutto rimanga immutabile, se vogliamo cambiare la x, deve farlo anche la y in maniera corrispondente. I valori delle due componenti possono cambiare, ma non è certo una rotazione che può cambiare la distanza dall’origine, finché il punto non si muove questa deve rimanere immutata. La relatività invece ci spariglia tutto. Anche se spostiamo il nostro mondo tutto insieme ad una certa velocità, lo spazio si accorcia e il tempo si dilunga. Ci siamo giocati il palcoscenico immutabile.

E qui casca l’asino, c’è qualche tipo di regola che ci permette di tenercelo? Ci deve essere per forza, basta cambiare un po’ le nostre convinzioni.

Abbiamo capito che il principio di relatività ci mette i bastoni tra le ruote, il tempo si allunga se lo spazio si accorcia per non farci accorgere di niente. Ora non bastano più le nostre due dimensioni del mondo piatto, perché anche il tempo è entrato nella partita. Dobbiamo aggiungere una terza dimensione.

La nostra figura, che si è trasformata da due punti a una circonferenza, si appresta a diventare una sfera. Ci siamo abituati nel normale mondo tridimensionale, solo che ora la terza dimensione non sarà la z, ma il tempo.

Invarianza 3D

Sa di fantascienfico, ma è solo un modo per avere qualche strumento nel campo del molto veloce. Il mondo rimane un palcoscenico immutabile non solo se viene ruotato di un angolo qualunque, ma si può anche muovere di moto rettilineo uniforme: includendo il tempo nei nostri discorsi, nessuno si accorgerà di nulla.

L’ultimo passetto è praticamente il più difficile. Se recuperiamo la nostra terza dimensione spaziale, come faccio a disegnarvi una ipersfera che ha quattro dimensioni? Ve la riuscite ad immaginare? Questo sì che mette a dura prova la fantasia.

Con uno schermo non si può far molto per raffigurare la situazione, eppure un concetto lo possiamo tirar fuori senza problemi: se tutti influenzano tutti, allora i nostri vettori a tre componenti non bastano più, ce ne serve una quarta che ci tiene in conto il tempo. E’ per questo che in relatività si parla di quadrivettori.

Quantità di moto relativistica

E ora siamo pronti a riguardare tutto dall’inizio! Non proprio dalla prima lezione, ma ci serve un’appendice da usare quando l’acceleratore è arrivato a fondo corsa.

Siamo partiti dal fatto che con una forza modifichiamo la quantità di moto, questa strana quantità che era utilissima negli urti. In quel caso potevamo anche evitare di guardare cosa succedeva nel dettaglio: l’unica cosa che ci serviva era che la quantità di moto totale si sarebbe conservata.

Per qualche masochistica ragione ci eravamo convinti che la classica formula $\vec{F}=m\vec{a}$ non ci piaceva. Direi che è ora di vedere perché ci siamo messi a fare i precisini, invece di accontentarci di ciò che dicevano il 99,9999999% dei libri di fisica classica. E no, non è perché ci piace fare i diversi!

Abbiamo detto che il mondo è pigro, non ha voglia di muoversi e la misura di quanto qualcosa è scansafatiche è la sua inerzia. Sono le forze a sparigliare tutto: nel momento in cui cominciano a spingere, la velocità del corpo cambia, ce lo dice sia $\vec{F}=m\vec{a}$ che $\vec{F}=d(m\vec{v})/dt$.

Ora però le strade delle due formule si separano. Fino alla relatività la massa era un qualcosa di costante, come lo era la resistenza ad ulteriori accelerazioni. Un camion voleva tenere la sua velocità allo stesso modo, da fermo o con velocità siderali.

Questo però abbiamo capito che è impossibile. Se fosse vero, perché la velocità della luce dovrebbe essere un limite? Saliamo sulla nostra navicella spaziale e andiamo quasi a tavoletta, giusto una punta più lenti della velocità della luce. A questo punto diamo ulteriore gas e acceleriamo, chi ci impedisce di superare la fatidica $c$? Non bastano certo raccomandazioni, la Natura ci deve mettere dei paletti.

E visto che non è proprio l’ultima arrivata, la sua soluzione è già lì: basta che la massa possa variare con la velocità. La sua formula l’abbiamo già vista $$\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

Ogni volta che portiamo la navicella ad una velocità leggermente superiore, la sua massa aumenta e noi facciamo sempre più fatica a spingere. Una piuma ha una massa eterea, è quando comincia a raggiungere velocità più sostenute che comincia ad essere paragonabile ad un camion, alla Terra, al Sole, all’intero Universo.

E queste variazioni diventano sempre più sostenute man mano che ci avviciniamo al limite. Nel momento in cui facciamo a gara coi fotoni (le particelle della luce), ogni nostro sforzo di aumentare la velocità si traduce in un aumento della massa. Stiamo solo rendendo l’oggetto spinto sempre più pigro.

Il risultato netto è che ogni volta che interviene una forza, succedono due cose:

  • rendiamo la massa più grande, anche se di un qualcosa d’insignificante finché le velocità non sono paragonabili a quelle della luce, per poi schizzare appena ci avviciniamo;
  • cambiamo la velocità del corpo in accordo con la sua inerzia.

In questa maniera la Natura ci ha anche strozzato qualsiasi tipo di obiezione. Con la doppia variazione infatti, la quantità di moto si continua a conservare, bisogna solo stare attenti al fatto che questa diventa un po’ più complicata. Si passa da $\vec{p}=m\vec{v}$ a $$\vec{p}=\frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

E tutto questo ha delle pesanti ripercussioni nel nostro modo di pensare.

La massa è energia

Riflettiamo bene su quello che sta accadendo, perché c’è una cosa curiosa di cui potreste esservi accorti.

Da quando abbiamo cominciato a parlare di forze ed energie, la metafora preferita è stata quella di tubi e serbatoi. L’energia era la quantità di qualcosa che si andava a distribuire tra i vari serbatoi disponibili e l’unica che poteva effettuare dei travasi era la forza. Questo è il suo compito.

Quindi ora abbiamo un bel punto interrogativo. La forza accelera un corpo, tutto torna perché variando la velocità si fa variare l’energia cinetica, ma cambia anche la massa? E in quale fantasioso serbatoio sta scaricando?!

Proviamo a ragionare proprio come fanno i fisici.

Fatemi divagare giusto un attimo. “Ogni tanto” capita di dover fare dei calcoli di cose complicatissime, anche la formula della nostra massa non è che sia proprio carina, e in questi casi si cerca di approssimare per facilitarsi la vita. Lo facciamo tutti i giorni anche noi, a me per esempio capita quando voglio capire il costo di un qualcosa scontato. Diciamo che vorrei acquistare un oggetto da 173, euro scontato al 10%. Per calcolarmi la cifra da levare mi trovo molto più comodo a lavorare con 170 o addirittura 150. Dipende da quanto non ho voglia di fare i calcoli e quanta precisione mi serve: 150 è più sbrigativo ma meno preciso di 170, come 170 lo è rispetto a 173.

I fisici sono “pelandroni” alla stessa maniera, quando hanno un qualcosa che è scomodo lo scompattano in contributi. Partono dal loro 173 e lo dividono in 100, 70 e 3. Potrebbe sembrare strano, ma $173=100+70+3$ quindi chi potrebbe controbattergli qualcosa? Per calcolare il 10% in fondo basta dividere per 10:

  • $100/10$ è facilissimo, fa 10.
  • $70/10$ anche non crea alcuna difficoltà, è semplicemente 7.
  • $3/10$ è quello che potrebbe dare più fastidio, ma i numeri sono piccoli ed è semplice rispondere $0,3$

A questo punto basta rimettere tutto insieme e il gioco è fatto. $10+7+0,3=17,3$. Su calcoli così semplici potrebbe sembrare macchinoso, eppure è sempre meglio avere più operazioni semplici che poche complicate. Potete immaginare che comodità se queste tattiche possono essere usate anche su campi più ingarbugliati. E’ per questo che, forse, lo sviluppo in serie è lo strumento preferito dei fisici.

Ha anche un’altra grande comodità. Nel caso di prima, che errore avremmo fatto se avessimo considerato solo il primo termine (100)? E se invece prendessimo solo il primo e il secondo (100 e 70)?

Rispetto a 17,3 10 è lontano mentre 17 è molto più vicino. Se ci va bene sbagliare di 0,3 in fondo stiamo decidendo di buttare la parte più tediosa: è un errore ok, ma se possiamo permettercelo non è decisamente meglio?

Anche con la formula della massa possiamo fare una cosa del genere, scompattiamola in contributi che sono via via meno importanti. Il primo valore sarà il nostro 10: è quello che ci avvicina più di tutti, ma potrebbe non essere sufficiente. Il secondo sarà il 7, partecipa meno del 10 ma ci avvicina un po’ di più. Solo se li prendiamo tutti, aggiungendo anche 0,3, non staremmo compiendo alcun errore di approssimazione.

Vogliamo costruire qualcosa come l’esempio sotto, dove N è il numero “di pezzi” che stiamo prendendo nella nostra approssimazione.

Approssimazione in serie

Ok, fine della divagazione, andiamo al sodo. Approssimiamo la formula della massa e fate ben attenzione a cosa esce fuori $$\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=m_0+\frac{1}{2}m_0v^2\left(\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{8}\frac{m_0v^4}{c^4}+\ldots$$

Ho sfruttato i comodissimi puntini dopo il terzo termine, perché prenderli in considerazione significa dimininuire così poco l’errore che non ne vale la pena. In realtà ci si potrebbe fermare anche al secondo: la velocità della luce non è piccola e quel $v^4/c^4$ è insignificante, a meno che non stiamo andando veramente veloci. Pure a un decimo della velocità della luce (mica bruscolini), 0,3 sarebbe gigantesco in confronto: qui stiamo parlando di termini dell’ordine di 0,0001.

Vogliamoci bene e fermiamoci al secondo termine $$m\approx m_0+\frac{1}{2}m_0v^2\left(\frac{1}{c^2}\right)$$

L’avete visto? Tutta questa manfrina sulle approssimazioni solo per farvi apparire quel $1/2mv^2$. Vi ricorda qualcosa? Nel momento in cui non siamo fermi, la massa si accresce proprio dell’energia cinetica di qualcosa diviso $c^2$, che ormai continua a girare da qualche tempo. Possiamo quasi spiegare la formula più famosa del ’900, fatemi solo spostare quel $c^2$ al suo posto $$mc^2=m_0c^2+\frac{1}{2}mv^2$$

Il secondo termine a destra è un’energia cinetica e visto che non va bene mischiare le patate con i cocomeri, allora saranno delle energie anche gli altri due. Ecco dove scarica il tubo della forza quando cambia la massa…nella massa stessa! Anche lei è una forma di energia $$E=mc^2$$

Massa ed energia

Siamo arrivati da Einstein per dire che l’energia di un corpo equivale a $mc^2$. Sono delle belle soddisfazioni! Non so voi, ma capire cosa quella formula così famosa è stato come togliersi un peso.

Passeggiamo ancora un po’ con lui e vediamo di capirci qualcosina in più. Il nostro serbatoio è in totale $mc^2$ e ci sono diversi contributi al suo interno. Se stiamo fermi abbiamo una massa $m_0$, e il termine $m_0c^2$ è l’energia a riposo.

Il secondo termine compare quando una forza ci mette in movimento e ci dà energia cinetica. L’energia è aumentata e quindi la massa ha fatto altrettanto, è implicito nell’ipotesi iniziale.

La cosa un po’ fastidiosa è che non sia così facile da vedere. Non è certo una cosa di tutti i giorni…o quasi. C’è infatti un modo per vederlo, anche se noi siamo riusciti a farlo nel modo peggiore possibile. Con la bomba atomica.

Abbiamo capito che le sorprese in questo campo non mancano, ma sentite questa. Pensiamo di procurarcene una, usciamocene dalla Terra per farla esplodere in santa pace, ma prima di farlo vediamo qual è la sua massa. Un’energia enorme (almeno per noi) viene liberata con l’esplosione, un qualcosa molto ma molto più intenso di questo.

Onda d'urto di un'esplosione

Godiamoci il botto e andiamo a recuperare i residui. Appare subito evidente che qualcosa non torna. Possiamo essere precisi quanto vogliamo, ma all’appello manca un grammo. Un solo grammo è sparito, e tutta quell’energia è stata dispersa. Come reagite se quel grammo mancante è proprio l’energia della bomba atomica?

Vi rendete conto? Tutto in un solo granello. Ma allora quanta ne abbiamo nel nostro corpo? E poi dite che i cartoni animati non avevano ragione!