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Collana di Fisica Classica- Dinamica

L’integrale di linea

E’ inverno, ma fuori è una bella giornata abbastanza per andarsi a fare una passeggiata. Mettiamoci un po’ di brio e facciamo una gara con un nostro amico a chi arriva prima a un punto B, partendo da A. Voi potete scegliere con chi andare: se scegliete me (il campione) avrete una bella strada dritta e senza curve che vi porterà senza sforzo al traguardo; se invece preferite l’altro (il contendente), vi ritroverete con un percorso così arzigogolato da costringervi ad almeno una tappa. A voi la scelta! Per rendervi tutto più facile vi riporto lo schema, quale sia la mia non c’è neanche bisogno di specificarlo.

Due possibili tragitti

Chi avete scelto? Se siete andati col mio amico, nonostante non aiutate la mia autostima, sospetto che sia stata una scelta azzeccata! Quello che non vi ho detto infatti è dove la gara si sarebbe svolta. Rimedio subito.

Tragitti montani

Mi sa tanto che con tutti quelli che mi hanno seguito stiamo ancora cercando di arrampicarci sulla prima montagna. Chiamate qualcuno per farci venire a prendere che comincia a fare buio! Le strade di montagna hanno la strana proprietà di farci fare la più piccola fatica possibile. Magari non puntano al risparmio dei chilometri, eppure danno una bella mano alle nostre gambe!

Sappiamo che con una forza ci mettiamo in movimento, muovendoci compiamo un lavoro, e con un lavoro siamo in grado di cambiare la nostra energia. Ragionando in termini differenziali (cioé con spostamenti così piccoli che neanche il più rigoroso potrà dirci qualcosa), sappiamo che $$dL=\vec{F}\cdot\vec{s}$$

Per qualche risultato pratico senza troppe fantasticherie teoriche, possiamo invece sommare tutti i singoli contributi elementari $$L=\int_{A}^{B}dL=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{s}$$

Questa è una definizione, una nostra costruzione mentale e ci sarebbero tantissime domande da farci sopra. Una in particolare però, è molto importante: questi punti A e B, come il tragitto che li collega, quanto sono importanti? La risposta è di quelle che fa imbufalire il più serafico dei professori: “dipende”.

Forze conservative

Mi piacciono gli effetti sorpresa, cominciamo a guardare quando “dipende” diventa un sonoro “no”. Voi mi potreste obiettare che per il percorso di prima la scelta è tutt’altro che inutile. Forse avete ragione, è un problema di quali forze abbiamo in mano e di quali sono i nostri obiettivi.

Partiamo da zero, e cominciamo a considerare che alcune forze hanno una notevolissima proprietà, chiamiamole conservative. Ogni volta che il lavoro non dipende dal cammino percorso, la forza che sta muovendo le nostre cose è una forza conservativa. In altre parole, usiamo sempre la stessa quantità di energia per andare da un punto ad un altro, indipendentemente dalla strada che percorriamo. E questo è vero per qualsiasi coppia di punti abbiamo scelto.

Giunti facilmente alla conclusione che le nostre gambe non producono forze conservative, il non dover calcolare integrali è una bella comodità. Ogni volta che ci sono questo tipo di forze conservative, il lavoro è solo nella scelta dei punti A e B. Letteralmente!

Pensiamo un attimo che andarsene in giro per le montagne coninvolga solo forze conservative, e tra A e B prendiamo a riferimento un terzo punto C.

Tragitti montani

La posizione giuro di averla scelta a caso. Se vogliamo calcolare il lavoro totale, possiamo valutarlo come somma dei contributi per i tragitti A$\rightarrow$C e C$\rightarrow$B. Eppure sarebbe scomodo, soprattutto se seguite il percorso del mio amico. E’ il caso d’inventarsi qualcos’altro che ci eviti annosi calcoli solo per capire quanta fatica ci costa andare da A a B. Che ne dite di un bel campo? Proprio come quelli dell’elettromagnetismo! Chiamiamolo campo potenziale.

Ordiniamolo su internet e in un paio di giorni lo abbiamo a casa. Mi sono fatto spedire una fiammante $U$. Con il nostro campo potenziale calcolare il lavoro sarebbe un gioco da ragazzi: vediamo quanto vale in A e in B, chiamiamoli $U(A)$ e $U(B)$, e facciamo una semplicissima differenza. Il lavoro compiuto da tutti coloro che hanno seguito me o il mio amico sarà $$L=U(A)-U(B)$$

Quando $U(B)$ è minore di $U(A)$ allora significa che siamo scesi di quota, ci siamo mossi, e abbiamo guadagnato in energia cinetica. Al contrario saremo costretti a spenderla. Semplice no? E’ proprio per come lo stiamo usando che questo campo ci sta rappresentando un’energia, l’energia potenziale. Gravitazionale o di qualsiasi altra natura la vostra fantasia riesca a produrre.

Sta tornando una nostra vecchia conoscenza, la conservazione dell’energia, solo che in questo caso possiamo essere ancora più specifici. A conservarsi è addirittura la sola energia meccanica $$E_{cin}+U=costante$$

Voi mi potreste dire a questo punto che vi ho imbrogliato. Altrimenti come farei a dire che non c’è alcuna differenza tra il mio percorso e quello del mio amico? Potreste anche vederla così in effetti, perché ho tralasciato tutto quello che non m’interessava. Come il tempo per citarne uno. Magari l’energia si conserva indipendentemente dal percorso scelto, però ad utilizzarmi come guida ci si mette un mese e mezzo! Non per nulla il lavoro è la potenza epurata dal tempo di variazione. Solo se ne avete tanto da perdere potrete darmi ragione.

Se volete fare i pignoli e non vi accontentate semplicemente del campo potenziale come di una semplice $U$, possiamo anche vedere come costruirlo. Basterà tornare indietro all’integrale per calcolare il lavoro, perché sappiamo che per andare da A a C abbiamo $$\int_{A}^{C}\vec{F}\cdot d\vec{s}$$

Preso questo come assodato, giriamo il discorso. La cosa migliore è avere sempre il punto C come punto di partenza: cioé vogliamo il lavoro che da C ci porti in A, in B, o dove volete voi. Quello che ci si guadagna con questa inversione è proprio la costruzione del nostro campo potenziale. $U(A)$ o $U(B)$ sono infatti i lavori che ci portano da C ad A o B, con un segno meno per ricordarci del cambio: $$U(A)=-\int_{C}^{A}\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_{A}^{C}\vec{F}\cdot d\vec{s}$$ $$U(B)=-\int_{C}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_{B}^{C}\vec{F}\cdot d\vec{s}$$

Se vi state chiedendo perché proprio $C$ e non $D$, $E$ o $F$…ottima osservazione! In effetti, potete scegliere un punto che volete per costruirvi il vostro campo potenziale. Vi verrà un pochino più grande o un pochino più piccolo del mio, ma quando andremo a fare la sottrazione per il calcolo del lavoro, allora queste differenze spariranno magicamente.

Forze non conservative

E quel “dipende” per il professore serafico può anche essere si, ma con molte condizioni! Perché la risposta corretta in realtà sarebbe sempre no, solo che a quel punto finirebbe pesantemente con l’arrabbiarsi. Andiamo con calma.

Torniamo un attimo alle nostre forze conservative. Ci hanno assicurato che il cammino che ci siamo scelti per loro è irrilevante, perché alla fine conta solo la differenza del potenziale tra l’inizio e la fine. Tanto diamo, tanto ci torna indietro.

Per questo possiamo essere provocatori e chiederci cosa succede se facciamo un circolo per tornare al punto di partenza. A rigore assolutamente nulla! Finché l’aritmetica ci supporta, siamo sicuri che un numero meno se stesso fa zero. Il risultato è che non abbiamo speso il minimo lavoro per far muovere le nostre gambe, indipendentemente da quanto abbiamo camminato.

Comodissimo, ma un po’ irreale. In realtà l’esperienza ci ha insegnato che una pallina che rimbalza ad un certo punto si ferma. Ciò che rende complicata la situazione, e “reale” il nostro mondo, sono le cosiddette forze dissipative. Quelle per le quali il cammino scelto conta. Eccome se conta.

Usiamole per spiegare che l’energia cinetica della pallina si sta trasformando in qualcos’altro, come per esempio il calore, e il gioco è fatto! L’energia meccanica non si conserva e il motore si scalderà quando è in funzione. Se il cammino scelto produrrà più calore, consumeremo di più rispetto ad un altro che ne produce di meno.

Queste forze non conservative dissipano il nostro corredo di energia potenziale spendibile…una bella scocciatura!

Se ci siamo scocciati abbastanza, è arrivato il momento di dire che le forze non conservative non esistono. Dimentichiamoci di tutto ciò che è tempo, efficienza, fretta. Dimentichiamoci del nostro punto di vista e guardiamo un bicchiere di acqua. Sappiamo che lì dentro tutto è in agitazione con complicatissimi moti interni. Cose così complesse che non ci azzardiamo neanche a descriverle, eppure gli atomi sono in moto e noi ne sentiamo il calore prodotto. A voler fare i pignoli tutto viene dall’energia cinetica. Se non muoviamo le mani per sfregarle (energia cinetica) come fanno a scaldarsi?

Ma l’energia potenziale può anche decidere di prendere altre strade come quella chimica. E’ quello che fa la benzina durante la combustione, rilasciando tutta quell’energia di conformazione di cui non ha più bisogno.

E non è finita qui, perché sia col calore che con l’energia chimica la nostra divisione energia potenziale-energia cinetica diventa un po’ naive. Non possiamo trattare il calore come fosse pura energia cinetica, perché c’entra un po’ della potenziale, né possiamo trattare la chimica come tutta potenziale, perché dipende anche dalla cinetica.

Oltretutto ci sarebbe un problema ulteriore. Quando ci concentriamo sulla pallina che rimbalza, automaticamente stiamo tagliando fuori tutto il resto del mondo, proprio quel mondo con cui la pallina interagisce. Si fermerà per l’attrito dell’aria, ma questo attrito in realtà non è altro che l’energia cinetica del pulviscolo che comincia a muoversi all’impazzata. Magari non possiamo vederlo, ma un bel termometro sarebbe pronto a confermarcelo. E’ vero che la nostra pallina perde energia, ma solo perché l’ha acquisita qualcos’altro.

A pensarci bene, se il professore mi chiedesse se esistono le forze non conservative, risponderei “ni”. Cioé “no”, ma dipende su cosa vogliamo concentrarci e quali sono gli effetti che c’interessano. A volte è più utile parlare di qualcosa che è concettualmente inesatto che però funziona.

La forza e il gradiente del campo

Devo essere onesto, le forze conservative e i campi potenziali ad un certo punto della vita mi hanno mandato in crisi. Il ragionamento è molto semplice, ho cercato di spiegarlo ma nessuno ne è mai sembrato troppo turbato. Gli ingredienti sono due:

  • gli oggetti si muovono perché c’è una forza;
  • dalle differenze dell’energia potenziale si può vedere verso dove gli oggetti sono spinti.

Diciamo che ci calcoliamo tutto il campo, ce lo abbiamo lì davanti e lo guardiamo. Con un pennarello e tanta precisione, disegniamoci una isolinea, un percorso sul quale il campo non cambia nei suoi valori. Poniamo su un punto qualunque di questa regione il nostro oggetto e vediamo che cosa fa. Sta fermo ok, ma perché? Uno qualunque di quei punti sul circuito a potenziale costante per lui è indifferente, quindi cosa c’è a bloccarlo? Nella realtà l’attrito, il calore, il vento, quello che volete voi, ma in questo mondo idealizzato che stiamo cercando di capire? Perché è fermo o si muove quando cominciamo a guardarlo?

Cosa lo spinge a star fermo o a farlo muovere? Ammetto che ad un certo punto mi ero incartato, anche se mi sono trovato la strada spianata per problemi successivi. Voi me lo sapreste spiegare?

Mentre ci pensate, nel frattempo ho una grande sorpresa per voi. Vedere quanto vale la forza, ancora una volta! Siete contenti? Di tutte le salse questa ancora non l’avevamo toccata. Non vi posso promettere che non me ne uscirò più con nuove definizioni, ma di sicuro è la parola più utilizzata in tutte le lezioni.

La situazione è semplice. Appena lo scenario si sblocca e l’oggetto vede un punto ad un potenziale più basso, lui ci si fionda per approfittare della situazione. Questo movimento produrrà lavoro ovviamente. Ora ritiriamo fuori i nostri amati differenziali e riscriviamo cosa succede in una sola direzione. $$\partial U=-F_x\partial x$$

Vi ricordate perché non abbiamo usato subito la d per esprimere i differenziali? Se ci siete, abbiamo finito! A questo punto la forza sarà semplicemente $F_x=-\frac{\partial U}{\partial x}$, che vi credevate?

Possiamo anche osare il passetto successivo e chiudere in bellezza. Affrontiamo a testa alta il fatto che la forza è un vettore per concludere una formula che, sparsa qua e là, troveremo spesso: la forza è uguale al gradiente del potenziale, cambiato di segno.$$F=-\nabla U$$

A questo punto direi che ci siamo. Mi sembra che abbiamo legato tutto il legabile e un’idea su queste forze, queste energie e questi campi ce la siamo abbozzata. Loro sono le nostre regole per rappresentare il mondo e siamo pronti per cominciare ad utilizzarle.