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Collana di fisica classica-Dinamica

Il lavoro per cena

Il mondo è complicato da tantissimi tipi di forze e tantissimi tipi di energia. C’è da uscirne matti a cercare di fare chiarezza in maniera un po’ più approfondita, ed è per questo che ci aggrappiamo a quelle poche certezze che abbiamo. Non è importante quanto è complesso il processo in atto, l’energia in tutte le sue forme si deve conservare: possiamo dirlo anche se di tutte queste formule e ragionamenti strani non ne sappiamo nulla.

E’ una di quelle frasi che ci si può giocare in quelle cene dove gli argomenti virano decisamente verso lo scientifico. Non ne ho mai veramente capito il motivo, come se calcio, donne (ma solo quando le dirette interessate non sono presenti), viaggi, ricordi, e fortunatamente solo ogni tanto politica, non bastassero. Mi hanno sempre divertito tantissimo, perché tipicamente nessuno sa di cosa sta parlando, ma i grandi classici sono la relatività, il caos e solo recentemente il bosone di Higgs.

In situazioni come queste la conservazione dell’energia può fare al caso vostro. E’ di effetto e se ve la giocate bene li cogliete tutti di sorpresa. Destabilizzare. Questa è la parola d’ordine! Vi assicuro che si possono sviluppare dei confronti esilaranti. Non me ne vogliano gli interessati, ma se poi siete così fortunati da avere tra voi una particolare categoria di persone, allora la situazione si muoverà al livello successivo. Si sfocerà nel memorabile! C’è da dire che però sono eventi molto rari, e dovete essere bravissimi anche voi ad alimentare la situazione promettente. Ci vuole molto esercizio ed esperienza, perché è un processo delicato.

Prima di andare al ristorante però, bisogna essere preparati per sfruttare al meglio le nostre carte. Chiaramente non possiamo parlare di energia come serbatoio e di forza come tubo: il concetto c’è, ma con i nostri amici dobbiamo darci un tono più formale.

La domanda più rischiosa è sicuramente “cos’è l’energia?”: se non siete pronti a gestire la situazione, ci saranno delle derive mistiche, passando per la meccanica quantistica. Perché dovete sapere che tutti i mistici nella cultura occidentale devono citare almeno una volta la meccanica quantistica, è una specie di contratto che viene firmato all’ingresso. L’argomento potrebbe anche essere interessante, ma visto che spesso nessuno ne sa molto, la discussione si inaredirebbe troppo presto. Dobbiamo rimanere nel mondo “classico” per non far spegnere la fiammella.

Giocata la nostra carta d’ingresso con la conservazione di energia, dobbiamo essere lesti a rimanere nel reale, e in questo Newton ci ha aiutato molto. Ogni forza crea un’accelerazione, e di esempi a riguardo ne abbiamo quanti ne vogliamo, però dobbiamo stare attenti. Il curioso in qualsiasi altra situazione sarebbe una persona validissima, ma ora questa sua spinta a capire potrebbe metterci i bastoni tra le ruote: lui non è tra i personaggi chiave, anche se, ben gestito, può contribuire a fomentarli.

Il curioso ora è insidiosissimo, e dobbiamo controllarlo. La domanda a cui stiamo andando incontro è “ma come sono legati queste forze e queste energie?”. E’ qui che dobbiamo spostare l’attenzione, e c’è una nuova grandezza fisica che fa al caso nostro: il lavoro.

Il lavoro in fisica non significa la stessa cosa del senso comune “lavoratori del mondo unitevi!”, ma è un’idea diversa. Bisogna gestirla con cura.

Potenza ed energia cinetica

Portiamo il nostro curioso a pensare ad un caso semplice, dove abbiamo solo l’energia potenziale e quella cinetica. Un tuffo può andare benissimo. Ci accetterà senza problemi che l’energia potenziale si trasformerà in cinetica. L’attenzione però, deve essere tutta sulla trasformazione.

Mischiamo un po’ le carte per non usare l’esempio del serbatoio e del tubo. Diamo direttamente le formule per sfruttare la matematica a nostro vantaggio. Se vi ricordate, l’energia cinetica vale $$E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2$$

A questo punto prendiamo un fazzolettino di carta e mostriamo come questa cambierà nel tempo. Mostriamolo in matematichese, ci darà sicuramente dei punti in più. Quello che vogliamo sapere, è quanto vale $$\frac{dE_{cin}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)$$

Dobbiamo essere più veloci possibili in questi passaggi, se qualcuno dovesse chiederci come si calcola basterà dire che che stiamo solo applicando la regola della derivata di un prodotto, in cui si deriva ogni fattore lasciando il resto invariato, e sommando tutto alla fine. Per semplicità, non scriviamo le derivate della massa e dei numeri che tutti ci accetteranno essere costanti nel tempo $$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)=\frac{1}{2}mv\frac{dv}{dt}+\frac{1}{2}mv\frac{dv}{dt}$$

Il calcolo è molto semplice, trionfanti possiamo dimostrare facilmente che la variazione dell’energia cinetica è uguale a $mv\frac{dv}{dt}$. Per la quantità di moto ci siamo già passati, e quindi sappiamo che la seconda legge di Newton ci assicura che la forza è pari alla sua variazione nel tempo.

Se siamo lesti, abbiamo portato senza intoppi tutti i nostri interlocutori ad accettare che la variazione nel tempo dell’energia cinetica è pari a $$\frac{dE_{cin}}{dt}=Fv$$

Ora diamo ancora prova nella nostra maestria, per convincere anche i più duri che sappiamo di cosa stiamo parlando. Questa fase è importantissima, per acquisire credito e deviare comodamente il discorso dove ci fa più comodo. Che la forza peso sia uguale $-mg$ dovrebbero averlo appreso tutti tra i banchi di scuola, quindi non soffermiamoci più di tanto sul perché, non è questo il nostro obiettivo. Piuttosto, dobbiamo far presente a tutti che questa forza è costante e la velocità è, naturalmente, la rapidità con la quale varia l’altezza del tuffatore durante il tuffo. Così la rapidità di variazione dell’energia cinetica, altro non è che $-mg\frac{dh}{dt}$. Cioé proprio la variazione dell’altra grandezza in questione, l’energia potenziale.

A questo punto tutti dovrebbero essere convinti che dall’energia potenziale il tuffatore è passato a quella cinetica tramite una forza. In particolare abbiamo fatto vedere loro che la rapidità di variazione dell’energia cinetica, istante per istante, è pari alla forza moltiplicata per la velocità in quel momento.

Perché la nostra introduzione scorra fluida, dobbiamo essere pronti a ogni evenienza, anche all’obiezione che il nostro esempio è troppo semplice e il mondo è molto più complicato di così. Concediamo allora che il nostro tuffatore si sia tuffato in avanti e non stia cadendo a peso morto. Per noi non c’è proprio alcun problema, perché sappiamo benissimo che la forza di gravità ci spinge verso il centro della Terra e nelle altre direzioni non accade nulla di significativo. Alla fine della fiera, sarà solo la componente verticale che farà variare l’energia cinetica.

Lavoro di un motore

A questo punto ci potrebbe essere un altro problema, qualcuno potrebbe chiederci come funziona allora con una macchina, dove la forza peso non c’è, ma a spingerci c’è solo il motore e la benzina. Non potevamo chiedere tanta fortuna per l’enorme assist che ci ha offerto: gli ribattiamo subito che la forza peso c’è, solo che è perfettamente bilanciata dal terreno che non ci fa cadere. Quello a cui dobbiamo interessarci in quella situazione è solo la componente della forza che è allineata con la direzione del moto. Date da considerare il caso più complicato che possa venire in mente e scarabocchiate sul foglio che $$\frac{dE_{cin}}{dt}=\vec{F}\cdot\vec{v}$$

Usare il prodotto scalare per considerare solo la parte della forza allineata alla velocità è letteralmente un colpo di genio. Li avrete offuscati con talmente tanti simboli strani, che vi assicuro che quasi nessuno ora avrà nulla da dirvi. Al massimo qualcuno annuirà con un sorrisetto, quasi a dire che tutte quelle cose lui già le sapeva.

Ora è fin troppo facile dire che quella grandezza, $\vec{F}\cdot\vec{v}$, è chiamata potenza, e che la rapidità della variazione dell’energia cinetica di un qualsiasi oggetto, è uguale alla potenza spesa dalle forze agenti su questo.

Il lavoro per la fisica

A questo punto la discussione può procedere con le sue gambe in qualsiasi momento. Voi dovete solo mettervi seduti e godervi solo lo spettacolo. Nel caso servissero ancora delle spintarelle, possiamo buttare finalmente dentro il lavoro: serve solo disinteressarsi di come variano nel tempo le grandezze e concentrarsi solo sulla variazione. Basta “eliminare” il tempo, ricordandosi che $\vec{v}=\frac{d\vec{s}}{dt}$ e scrivendo che $$ dE_{cin}=\vec{F}\cdot d{s}$$

A onor del vero, il concetto di differenziale è sempre un qualcosa di poco reale: se vi ricordate si usava la $d$ per indicare un’approssimazione rigorosa di una grandezza che variava pochissimo. $dt$ significa per esempio un intervallo di tempo praticamente infinitesimo. A noi piace molto di più $\Delta$, per avere delle variazioni tangibili, qualcosa che possiamo misurare o vedere! E’ per questo che se volessimo avere la variazione di energia cinetica, dobbiamo fare un passetto in più: $$\Delta E_{cin}=\int_1^2 \vec{F}\cdot d\vec{s}$$

E’ proprio perché è così che fa impressione. Detto tra noi, dell’integrale abbiamo capito solo che equivale a sommare con certosina pazienza tutti i piccoli contributi che ci sono tra la posizione $1$, quella iniziale e la $2$, quella finale.

Io direi invece di rimanere sul vago e dire che “stiamo considerando che il corpo si sta muovendo di moto qualunque sotto l’influenza di una forza $\vec{F}$ (qui la indicherei proprio sul foglio), e la variazione della sua energia cinetica altri non è che l’integrale della componente della forza lungo gli spostamenti $d\vec{s}$”. Se proprio volete essere “sboroni”, potreste dire che “il lavoro è l’integrale di linea di F per ds”, ma forse è meglio non esagerare.

Onestamente, le probabilità che qualcuno sia a bocca aperta ci sono tutte. La cosa importante è che lo spiegate come se fosse la cosa più normale del mondo, magari rimanendo anche un po’ stupiti che gli altri non sappiano queste cose (non troppo però, potreste apparire boriosi). Quell’integrale che abbiamo visto è il lavoro compiuto dalla forza sull’oggetto, proprio come la potenza è il lavoro fatto nell’intervallino di tempo che stiamo considerando (piccolo mi raccomando).

Potete farlo anche ragionando sulla variazione dell’energia potenziale, sapete sia che la forza è $-m\vec{g}$ sia che lo spostamento elementare sarà $dh$. Se proprio volete calcolarlo, non è affatto difficile $$\int_1^2\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_{h_1}^{h_2} -mg\text{ }dh=-mg(h_2-h_1)$$

Cioé, se volete sapere il lavoro fatto dalla gravità per portare il vostro tuffatore dall’altezza $h_1$ all’altezza $h_2$, dovrete soltanto calcolare la differenza di quota e moltiplicare per il valore della forza peso.

A questo punto siete al riparo da qualsiasi appunto, se qualcuno vi chiederà qualche caso più difficile, mi vengono in mente le montagne russe o una fogliolina in un torrente, potrete sempre cavarvela con l’eleganza di molti fisici. Stampatevi in faccia un sorrisetto di superiorità e dite che sì, il nostro caso era semplice ma lo era solo per rimanere comprensibile e non perdersi in tediosi calcoli (attenzione che l’aggettivo tedioso è di una superbia unica, da usare con moderazione). In ogni caso, anche per una forza non costante e una traiettoria complicata quanto si vuole, la formula $\int\vec{F}\cdot d \vec{s}$ continua a valere. Sarà solo più difficile da calcolare..

A questo punto vi posso assicurare che sono cotti, non è importante se ci sia qualcun altro che vi avrà seguito nel ragionamento, tutti vi avranno dato ragione e sono pronti e carichi per partire. L’esca è stata gettata e ora sono pronti ad abboccare.

La relatività la potrete introdurre facilmente, dicendo per esempio che “sarebbe carino rifare tutti questi discorsi a velocità relativistiche (marcateci perché tutti possano cogliere l’aggancio) e vedere che cosa succede”. Se qualcuno è rimasto indietro, trovate il modo di aggiungere “è proprio come diceva Einstein con $E=mc^2$”, anche se non c’entra nulla non vi preoccupate che tutta la vostra introduzione avrà sortito il suo effetto. Ora siete sicuri che sono tutti dentro e carichi!

Il caos magari potrebbe sembrare più difficile, ma il battito della farfalla che crea il tifone a New York l’hanno detto proprio per questo. Battito di ali, spostamento dell’aria, c’è da aggiungere altro? Ricordatevi solo di aggiungere che è proprio per questo motivo che i metereologi non ci azzeccano mai…

Il bosone di Higgs in realtà è più complesso e non c’è una regola generale, bisognerebbe usare la massa ma dipende molto dalla situazione. Se volete arrivare lì, dovrete essere bravi voi a capire i vari scenari.

Il lavoro fisico e quello fisiologico

E’ molto raro, ma potrebbe essere necessario che continuiate nel vostro discorso. Sappiatelo, ora probabilmente tutto è compromesso: avete talmente esagerato che l’attenzione è catalizzata, e nessuno è pronto a esporsi dopo di voi. In questo caso servirebbe una via di uscita con stile, e si può fare cambiando velocemente tattica.

Non saprei proporvi con sicurezza quella vincente, è un po’ come il bosone di Higgs: è tutta una questione dell’ispirazione del momento. Mi verrebbe in mente di usare il perché il significato in fisica del lavoro è così diverso dall’uso comune, per spostare l’attenzione altrove.

Ci starebbe bene l’esempio di un sollevatore di pesi che regge il suo peso, perché senza movimento non si può dire che stia compiendo un lavoro nel senso fisico. Eppure starà sudando e tremando per lo sforzo considerevole! Ha lo stesso tipo di sensazioni di una persona che corre giù per le scale, anche se in questo caso, per l’accezione fisica, questa sta scendendo di quota e quindi è presente del lavoro (la forza delle sue gambe e il peso lo stanno spostando verso il basso). Rimarcherei sul fatto che nel sostenere un oggetto in posizione fissa non si compie lavoro, perché è chiaro che la definizione fisica cambia radicalmente da quella fisiologica.

Sembra che il lavoro fisico sia sbagliato nella sua definizione, ma solo perché stiamo cercando di portare la nostra idea su un qualcosa che sta solo usando la stessa parola. Non è così. Nel sostenere un peso, si compie un lavoro, solo che questo lavoro è “fisiologico” e non “fisico”. Perché si finisce col sudare? Perché il nostro sollevatore di pesi ha bisogno di una grandissima energia per mantenere sollevato il peso? (non provate ad invitarlo a pranzo, il vostro portafogli vi ringrazierà)

In fondo basterebbe sostenere il peso senza sforzo, rimettendolo semplicemente al suo posto! Lui manterebbe la sua altezza e probabilmente il sollevatore vi avrebbe convinto ad andare a mangiare qualcosa fuori, dimenticandosi volontariamente il portafogli.

Con queste domande potreste portare il discorso verso un binario morto, spiegando cosa succede fisiologicamente. Dovete sapere che noi abbiamo due tipi di muscoli, quello “striato” che possiamo controllare volontariamente, e quello “liscio” che abbiamo per esempio nell’intestino o che il mollusco usa per chiudere la conchiglia.

Questi ultimi lavorano in modo molto lento, ma riescono a tenere una posizione per tutto il tempo che vogliono. E’ proprio per questo che la conchiglia è ben serrata. E’ un po’ come il peso riposto sul supporto che schiaccia gli atomi e li costringe in quella posizione: trovato il nuovo equilibrio, nessuno si lamenterà più di tanto finché il peso sarà lì a tenerli schiacciati. Per il mollusco è più o meno la stessa cosa, nel chiudere la conchiglia si trova perfettamente a suo agio nella situazione e le due parti saranno tenute insieme senza alcuno sforzo.

Il discorso cambia invece per i nostri poveri muscoli striati. Quando il cervello del sollevatore di pesi comunica al braccio di irrigidirsi, un piccolo impulso nervoso raggiunge le fibre muscolari che si contraggono per un istante. Per questo meccanismo a singhiozzo in uno sforzo prolungato le nostre fibre sono inondate d’impulsi nervosi: numerose fibre si contraggono, dando il tempo ad altre di rilassarsi. Chiaramente l’efficienza non è il massimo, perché da un certo punto in poi i muscoli sono affaticati e non reagiscono più con prontezza agli impulsi irregolari. Il risultato è che il sollevatore di pesi comincia a tremare. Sarebbe stato più facile avere dei muscoli lisci veloci, ma vai a capire perché l’evoluzione ha scelto questa strada. Del resto col senno di poi è tutto più facile…

Muscolo striato

Se li abbiamo abbastanza offuscati con questa divagazione, potremmo concludere dicendo invece perché la fisica ha questa definizione di lavoro. In questa maniera infatti, abbiamo a che fare con variazioni di velocità che abbiamo imparato a gestire con grande maestria. In fondo è proprio la prima cosa con cui abbiamo iniziato questa enorme chiacchierata! Per quanto un fenomeno possa essere complicatissimo, sulle nostre particelle sappiamo che il lavoro prodotto dalla risultante delle forze agenti sarà pari alla variazione dell’energia cinetica. E quindi della sua velocità. Cioé sappiamno benissimo che se un oggetto viene spinto, possiamo subito notare che acquista velocità e $$\Delta(v^2)=\frac{2}{m}\vec{F}\cdot\vec{\Delta s}$$

Penso che possiate essere pronti. Dovremmo aver valutato tutte le possibilità, non vi rimane che andare a cena fuori e provare! Fatemi sapere com’è andata, perché il feedback è importante per affinare la tecnica.