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Collana di Fisica Classica- Relatività

La quantità di moto si conserva anche alla velocità della luce

Ormai avrete capito che il fantastico mondo dei dati sperimentali e del metodo scientifico accessibile in un certo senso ci hanno abbandonato. La massa deve cambiare con la velocità, sarebbe bello poterlo vedere ma credo che dovremmo accontentarci solo di tanta fantasia.

L’unica cosa a cui possiamo aggrapparci sono gli effetti della relatività su tutte quelle regole che diamo per acquisite. Una di queste potrebbe farci comodo: l’urto. Il paletto della conservazione della quantità di moto a volte può essere scomodo, altre è invece un buon punto di partenza. Come quando le cose vanno piano, giocare con gli urti ci permette di disinteressarci totalmente di ogni singolo evento e di concentrarci sull’effetto globale. In un certo senso è il corrispettivo dell’attrito.

Rispetto a Newton non cambia moltissimo, l’unica cosa sarà una quantità di moto non più costante per la velocità. La massa cambia, e c’è da stare un pochino più attenti. $$\vec{p}=m_v\vec{v}$$

E’ il nostro punto di partenza. La quantità di moto è la massa per la velocità. In mano abbiamo solo il principio di relatività, e questo ci deve bastare per vedere che $$m_v=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

Procuriamoci qualcosa che sia assolutamente identico come due palline. Coloriamole di rosso e di blu per poterle distinguere e organizziamo un bel botto.

Facciamole procedere una contro l’altra alla stessa velocità. Hanno la stessa massa e velocità opposta, quindi ci siamo messi nella comodissima situazione di avere la quantità di moto totale nulla. Quello che succederà al momento dell’impatto è difficile da studiare, ma sappiamo che questa dovrà rimanere tale in ogni singolo istante.

Ciò che accade è come vedere la pallina e la sua immagine allo specchio: qualsiasi cosa faccia una, l’altra deve fare esattamente l’opposto. Stessa velocità e direzioni contrarie, questo è quello che sappiamo dagli urti a bassa velocità.

A ragionarci bene possiamo essere addirittura più restrittivi. La quantità di moto totale la stiamo accontentando, lei si conserva, ma se supponiamo che non accadano cose strane, lo deve fare anche l’energia. Senza ulteriori serbatoi a raccogliere o pompare contributi, tanta energia abbiamo prima dell’urto, tanta ne ritroviamo subito dopo. In fondo stiamo solo chiedendo che l’urto sia elastico.

Urto elastico

Mi ritrovo a usare gli stessi simboli dei miei professori. Non mi chiedete perché, si vede che mi hanno traviato in tutti questi anni: sembra quasi che chiamare un angolo $\theta$ sia più giusto che chiamarlo “angolo 1″. Tornando a noi, l’animazione ci può dare un’idea di quello che sta succedendo. Le due particelle sbattono una contro l’altra e si deviano l’un l’altra. L’azione che si scambiano è esattamente la stessa, quindi se non fosse per i colori ci confonderemmo abbastanza facilmente. E’ la stessa cosa se guardiamo quella da sinistra o quella da destra con la testa girata.

La massa relativistica

E’ giunta l’ora di sparigliare tutte le carte e cominciare con tutti quei contorcimenti mentali che ci piacciono tanto. Questo “realtà” dobbiamo stirarla per farci dare delle risposte.

Che succede se invece di goderci il botto da fermi, lo osservassimo mentre ci muoviamo? Se andassimo con la pallina blu la vedremma totalmente ferma, procediamo invece solo verso destra. Stiamo ancora cancellando nel moto relativo, ma solo nella componente orizzontare. Quella verticale invece è ancora lì: la pallina nel nostro movimento apparirà muoversi prima verso l’alto e poi verso il basso.

Urto con osservatore in movimento

Se ci serve una lettera da affiancare alla “v”, i professori mi hanno sempre insegnato che una buona scelta è la “w”, ed oggi voglio dare retta alla mia vena conformista. La pallina blu, procede in alto e poi in basso ad una velocità w e la variazione della sua quantità di moto per l’urto sarà semplicemente $$\Delta\vec{p}=2m_ww$$

“2″ perché il contributo in salita è chiaramente lo stesso di quello in discesa: i segni delle velocità opposte compensano il “-” della differenza ed eccoci servito il risultato finale.

Questo per la pallina blu, perché per quella rossa è tutt’un altro discorso. Nella componente orizzontale ci stiamo muovendo in maniera opposta piuttosto che solidale.

L’angolo di attacco è diverso, invece di chiamarlo $\theta$ potremmo nominarlo $\alpha$, ma di quanto? Come facciamo a mettere in relazione quello che succede da fermi con quello che vediamo quando ci muoviamo?

Cambio della traiettoria nell'urto per l'osservatore

Semplicemente rileggendoci la scorsa lezione! Avevamo visto esattamente come si modificano le velocità con il movimento dell’osservatore.

La pallina rossa ha una massa $m_v$ e la sua velocità due componenti:

  • una nuova e fiammante u per la componente orizzontale
  • $w\sqrt{1-u^2/c^2}$ per quella verticale

La quantità di moto si deve conservare e lo deve fare sia nella componente orizzontale che in quella verticale. Per quanto riguarda la prima, l’urto non la disturba in alcun modo: qui è come se nulla fosse successo e la pallina rossa continua indisturbata con la sua u. E’ nella dimensione verticale dove “c’è comunicazione” e bisogna stare attenti agli equilibri.

Per la pallina rossa, la $\Delta p$ nella direzione verticale sarà allora $$\Delta p=2m_vw\sqrt{1-u^2/c^2}$$

E quello che ci serve è semplicemente un’uguaglianza tra le variazioni delle quantità di moto $$2m_ww=2m_vw\sqrt{1-u^2/c^2}$$

Eccoci qua, perché semplificando i 2 e le w abbiamo il rapporto tra $m_w/m_v$. Ancora una volta esce fuori la nostra fedelissima radice, $$\frac{m_w}{m_v}=\sqrt{1-u^2/c^2}$$

La formula per la massa relativistica che abbiamo già incontrato in più occasioni la si ottiene semplicemente chiedendo che w tenda a 0. In questa maniera la pallina blu è ferma, u e v coincidono, $m_w\rightarrow m_0$ e $m_v\rightarrow m_u$.

L’energia relativistica

Giochiamo ancora un po’ con gli urti e realizziamone uno anelastico. Le due palline procedono ancora l’una contro l’altra, ma invece di rimbalzare si fermeranno insieme al centro. Come due calamite che s’incontrano.

Urto anelastico

Utilizziamo ancora la velocità w. E’ quella delle due palline che si scontrano e s’incollano l’una all’altra. La massa di ciascuno ora la sappiamo trovare subito $$m_w=\frac{m_0}{\sqrt{1-w^2/c^2}}$$

Complichiamoci solo un po’ la vita, diamolo loro anche un piccolissima componente verticale. Una u che è molto lontana dalla velocità della luce. Subito dopo l’urto, il nuovo oggetto con massa M invece di stare fermo procederà verso l’alto con questa velocità. Niente di troppo complesso.

Se la quantità di moto deve sempre conservarsi, prima dell’urto abbiamo $p\sim2m_wu$, subito dopo rimaniamo con $p=M_uu$. Finché u è molto piccola $M_u$ è praticamente uguale a $M_0$. Cioé possiamo dire che $$M_0=2m_w$$

Voi a questo punto potreste obiettare “e che cosa c’è d’interessante? Lo sapevamo già dalla conservazione della quantità di moto”. Ma non è così facile, perché le $m_w$ non sono le masse a riposo, ma quelle a velocità relativistiche. L’uguaglianza non è con le masse a “bocce ferme”, ma con quelle aumentate.

Perché la conservazione della quantità di moto continui a valere, l’oggetto che formano a seguito dell’urto deve avere una massa maggiore della semplice somma dei componenti a riposo. Anche se questi ora sono fermi!

E questo eccesso di massa da dove esce fuori? Se riprendiamo il percorso per trovare $E=mc^2$, il surplus è uguale all’energia cinetica che stiamo introducendo con l’urto. Uno dei capisaldi della meccanica classica ce la siamo appena persi per strada: la conservazione di massa non vale più.

Quando scontriamo due cose lentamente, sappiamo che il nuovo oggetto avrà una massa pari a $2m_0$. E’ vero che all’interno vi sarà più energia cinetica e l’oggetto sarà più caldo, però questo “sul mondo della massa”. Qui invece è cambiato tutto.

Quell’energia cinetica trasborda nella massa (anche questa è un serbatoio) e l’oggetto risultante sarà più pesante. Cioé è un oggetto differente.

Il legame tra l’energia e la quantità di moto

Facciamo il processo al contrario, partiamo dal nostro oggettone di massa $M$. Lui se ne sta lì fermo quando a un certo punto si scinde in due pezzettini uguali. Sappiamo che $M=2m_w$ al momento della scissione, ma poi questi pezzettini rallentano e devono cedere la loro energia ad altri serbatoi, potenziale, calore, un po’ quello che vogliono. Si fermano e la loro massa è diventata $m_0$.

Grazie ad $E=mc^2$ sappiamo con precisione quanta energia hannno perso, sarà semplicemente $(m_w-m_0)c^2$. Ma possiamo dirlo anche complessivamente, perché l’energia liberata è allo stesso modo $$\Delta E=(M-2m_0)c^2$$

Sia $M$ che $m_0$ sono le masse a riposo, quindi non c’è alcun bisogno di rincorrere particelle alla velocità della luce per avere un’idea di quello che sta succedendo.

E’ così che sono riusciti a calcolare l’energia liberata da una bomba atomica. Sapevano l’elemento di partenza, l’uranio, e conoscevano i prodotti. Per tutti era nota la massa, ed è stato facile come fare una semplice differenza.

Fissione nucleare

Queste variazioni però accadono anche in casi un po’ più usuali e meno terrificanti. Per esempio possiamo parlarne anche con il carbonio che reagisce con l’ossigeno e crea anidride carbonica. E’ la famosa reazione di combustione $$C+O_2\rightarrow CO_2$$

Se sappiamo la massa dei reagenti e quella dei prodotti troviamo esattamente l’energia liberata. L’unico inconveniente semmai sarà nel calcolo. Le differenze saranno talmente piccole che tecnicamente non sarà certo una passeggiata.

Se riuscissimo a tenere d’occhio ogni singolo particolare, potremmo essere tentati di dire che la massa M è costituita da $2m_0$ di energia potenziale, mentre la restante è energia cinetica. Sarebbe interessante, però direi di non esagerare troppo con il fare i precisi.

Non dimentichiamoci che il totale spesso è maggiore della somma delle parti e le relazioni tra le cose cambiano a seconda degli attori sul palco. Il preziosissimo vaso cinese che si disintegra cadendo dal vostro camino è una testimonianza perfetta: provata ad andare da un antiquario a venderne i pezzi…

Se ci accontentiamo di non essere troppo pignoli e parlare di energia totale abbiamo comunque fatto un bel passo in avanti. Ora sappiamo legarla con la quantità di moto $P$ e la massa $M_0$. Quello che troverete scritto normalmente sono due formule semplicemente dimostrabili $$ \begin{align} & E^2-P^2c^2=M_0^2c^4\\ \\ & Pc=\frac{Ev}{c} \end{align} $$