Energia e quantità di moto, tutte nello stesso quadrivettore

abstract

Ammettiamolo, che l'energia e la quantità di moto avessero qualcosa da spartirsi lo si poteva sospettare. Magari non c'abbiamo mai pensato, ma ora sembra quasi logico. In fondo perché la quantità di moto doveva smettersi di conservarsi solo nel mondo relativistico?

La colpa era nostra, che guardiamo le cose dal punto di vista sbagliato. In fondo il mondo non ha lo spazio E il tempo, questa è una nostra costruzione. "Lo spazio in se stesso e il tempo in se stesso diverranno semplici ombre, e sopravviverà soltanto una specie di legame fra di loro".

Il quadrivettore della quantità di moto

La quantità di moto totale si conserva. Sempre. Possiamo farle qualsiasi cosa, anche complicatissima, e non cambierà. A meno che non interveniamo sulla velocità di osservazione e tutte le carte sono sparigliate. Eh, e perché?

Cercare di rispondere è appena oltre le nostre possibilità, dopo questa rimane solo “qual è il senso della vita?” e “che ci facciamo su questa Terra?”. Eppure qualcosa ci deve essere, anche per la massa abbiamo visto che il discorso è simile. Del resto se $p=mv$, che siano collegate è il minimo.

Ripartiamo un attimo dal filo che collega, le trasformazioni di Lorentz con le rotazioni nello spazio. Due osservatori che vanno a velocità differenti osservano due mondi differenti, come sono differenti i mondi che vedono se uno dei due è a testa in giù.

Abbiamo imparato che una qualsiasi grandezza vettoriale può essere scomposta nelle sue componenti. E’ soprattutto per una facilità di calcolo che trattiamo il mondo come frecce, e dobbiamo essere pronti a mischiarne le parti durante una rotazione. I singoli valori cambiano, ma il vettore ha una “realtà maggiore”, perché la freccia continua a rimanere uguale a se stessa.

Non è importante quanto i calcoli possano essere complicati, la mia velocità non deve cambiare se due osservatori immobili mi guardano dritti oppure con la testa inclinata.

Poi qualcuno cambia velocità e i vettori smettono di comportarsi come ci avevano abituati. Ma questa è colpa nostra, perché non possiamo guardare lo spazio senza il tempo. E’ un voler mangiare un cono gelato senza panna (dite quello che volete ma per me è inconcepibile). Ai nostri vettori tridimensionali bisogna aggiungere un quarto oggetto per farli “ruotare” correttamente in questo nuovo spazio-tempo.

E da buon vettore, il discorso deve valere anche per la quantità di moto. Perfetto, ma se noi ne conosciamo le tre componenti spaziali, la quarta, quella temporale, chi è?

In realtà, ben nascosta tra queste chiacchierate sulla relatività speciale, è apparsa spesso. Sono stato così bravo solo perché seguo il principio che più le cose sono in bella vista meno si notano. Spero che non ve ne siate accorti perché qui tutto si regge sull’effetto sorpresa!

Nel mondo meccanico non relativistico ci sono solo tre principi di conservazione (ci sarebbe da parlarne, lo so). Il primo è quello della massa, il secondo appunto della quantità di moto, e il terzo è l’energia. Abbiamo capito che la massa è energia. Non vedete alcuna coincidenza a questo punto?

L’energia e la quantità di moto

La relazione è apparsa per la prima volta quando abbiamo parlato di massa ed energia relativistiche. Se nella quantità di moto compare la massa, e quest’ultima è una forma di energia, allora le due quantità devono essere necessariamente legate. Esattamente come avevamo già scritto $$E^2-p^2c^2=m_0^2c^4$$

Le tre componenti della quantità di moto e l’energia sono legate a formare un quadrivettore. Sono facce della stessa medaglia, anche se noi non ce ne siamo mai accorti. Eravamo troppo occupati a percepire lo spazio invece dello spazio-tempo.

E vederlo non è affatto difficile, permettetemi solo una semplificazione di scrittura. $c$ è un numero, è la velocità della luce. Trovare che vale circa 299.792,458 km/s è facile, ma perché non dire che il suo valore è in realtà 299.792.458 m/s? Oppure 186171,12 miglia/s? La velocità della luce è una costante di natura, ma il suo numero dipende da come decidiamo di misurarlo. Cambierà se per lo spazio scegliamo i chilometri, i metri o le miglia marine, e se per il tempo ci affidiamo ai secondi, le ore o gli anni solari. Le cifre utilizzate dipendono solo dalle nostre unità di misura, per cui fa “molto fisico” scegliere quelle per il quale $c=1$.

Misuriamo lo spazio in righelli della via Lattea e il tempo in vita di Ansoniani. Quanto valgono? E’ complicato riportarlo qui, ma se le usiamo per misurare la velocità della luce, questa vale esattamente 1. Magari sono scomode per qualsiasi altra grandezza, ma ora cadono veramente a fagiolo. Se ci servirà, faremo sempre in tempo a tornare indietro con un cambio di unità. Potevamo anche usarne altre, o inventarcene da zero. La cosa importante è non farci complicare la vita da semplici numeri.

Einstein non avrebbe nulla da ridire se la sua $E=mc^2$ la riscriviamo come $E=m$. Cioé con queste unità di misura la massa è energia. E il loro legame con la quantità di moto è diventato molto più semplice: $$E^2-p^2=m_0^2$$

Questo è il motivo per cui la massa a riposo dell’elettrone la troverete quasi sempre scritta come $0.511\cdot10^6 eV$, che è una misura dell’energia. Con le particelle siamo nel mondo relativistico e non si usano certo i chilogrammi. E’ un po’ scombussolante all’inizio, ma significa solo che la $m_0$ dell’elettrone moltiplicata per $c^2$ fa quel numero.

Senza le $c$ tra i piedi, la quantità di moto e l’energia hanno ancora più cose da spartire. Così tanto che sembrano quasi la stessa cosa: $$ \begin{align} E=mc&=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2}}\\ \vec{p}=m\vec{v}&=\frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1-v^2}} \end{align} $$

Come apparirebbero in un nuovo sistema di coordinate? Sappiamo quanto valgono per noi, ora confrontiamoci con qualcuno che procede a una velocità $u$. Se per noi c’è una $v$, loro avranno $v’$. Le correzioni relativistiche della velocità le abbiamo imparate. Vi ricordate? Era quello strano discorso per il qualela somma di due metà non faceva 1, ma 4/5. In un veloce ripasso, la formula da usare in questi casi è $$v’=\frac{v-u}{1-uv}$$

La velocità cambia e altrettanto farà la massa, portandosi dietro la quantità di moto e l’energia (ovviamente). Noi abbiamo $v$, $m$ e $E$, loro avranno $v’$, $m’$ e $E’$. Non sono gli stessi valori, anche se sono tutti collegati dalle trasformazioni di Lorentz. Per noi varrà $E=m_0/\sqrt{1-v^2}$, per loro la stessa formula riempita di apici.

Mischiamo le carte in tavola, perché sappiamo come la $v$ e la $v’$ sono legate. Con qualche calcolo (ahimè che devo farli) è possibile cercare di capire cosa vedono loro dal nostro punto di vista. E’ tutto abbastanza tedioso, a parte il risultato finale $$E’=\frac{(m_0/\sqrt{1-v^2})-(m_0v/\sqrt{1-v^2})u}{\sqrt{1-u^2}}$$

La prima parentesi è esattamente $E$, la seconda è invece $p_x$. Ora vi sfido a trovare le differenze con una delle trasformazioni di Lorentz $$ \begin{align} E’&=\frac{E-p_xu}{\sqrt{1-u^2}}\\ t’&=\frac{t-xu}{\sqrt{1-u^2}} \end{align} $$

Se questa non è una coincidenza, possiamo chiederci quanto vale allora $p_x’$. E ancora $$ \begin{align} p_x’&=\frac{p_x-Eu}{\sqrt{1-u^2}}\\ t’&=\frac{x-tu}{\sqrt{1-u^2}} \end{align} $$

Troppe formule? Può anche darsi, però questo era uno di quei casi dove i calcoli mostrano esattamente i fuochi d’artificio. Dirlo e basta non l’avrebbe reso così reale. Dimostrando che vale anche per $p_y$ e $p_z$ (e questi me li risparmio anche io), abbiamo trovato quattro quantità che si trasformano proprio come fanno x,y,z, e t. Queste le chiamiamo quadrivettore della quantità di moto.

Le sue componenti spaziali saranno quelle che noi intendiamo con la quantità di moto tridimensionale, quella temporale è invece uguale all’energia. La freccia, come tutte le nostre frecce, ha una realtà maggiore delle singole componenti. Quindi la quantità di moto è tornata a conservarsi…in un certo senso!

Lo strano caso del fotone

Rimane un’ultima cosa da guardare meglio, il fotone. Qualche cosa l’abbiamo accennata quando ne abbiamo parlato in meccanica quantistica, dicendo che il fotone trasporta un’energia e una quantità di moto.

Ora invece possiamo tornarci da tutto un altro punto di vista, come succede spesso nel mondo della scienza. Non so mai se è una coincidenza o un preciso ordine delle cose, eppure le varie discipline s’incontrano e si scontrano spesso. Ci si ritrova a parlare della stessa cosa con linguaggi diversissimi.

La quantità di moto della luce dipende dalla sua lunghezza d’onda: se volessimo guardarla come le onde del mare, più in una serie riusciamo a concatenarne, più la spinta che saranno in grado di rilasciare sarà grande. Per far questo, le onde devono essere le più ripide possibili e la distanza tra una cresta e l’altra deve essere minima. Cioé per una spinta più grande serve una lunghezza d’onda minore.

Ma possiamo anche parlare in termini di frequenza. “Mettendoci a testa in giù”, più le onde sono “impacchettate” più grande sarà la loro frequenza. Cioé possiamo usarla se vogliamo pensare al numero che riesce a raggiungerci in un dato tempo. Le due chiavi di lettura sono strettamente legate: ragionare in termini di frequenza o lunghezza d’onda è la stessa cosa.

Se guardiamo quante onde ci raggiungono in un secondo (la frequenza), e le moltiplichiamo per la loro estensione nello spazio (la loro lunghezza d’onda), stiamo guardando quanto spazio percorrono in un dato intervallo di tempo.

Stiamo dividendo una quantità di spazio per una di tempo.

Stiamo parlando di una velocità, quella della luce.

D’altra parte l’energia di un fotone possiamo misurarla in maniera simile: è una costante moltiplicata per la frequenza. Proprio come ci aspettiamo, anche nella luce la quantità di moto e l’energia sono legate.

Il problema è che questa volta lo fanno in una maniera molto particolare $$ \begin{align} E=h\nu & & p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h\nu}{c} \end{align} $$

L’energia del fotone è la quantità di moto moltiplicata per la velocità della luce. Ciò significa che nel nostro strano sistema di riferimento l’energia e la quantità di moto sono uguali. E cioé, un fotone deve avere massa a riposo nulla.

Una particella con una massa nulla, ne avete mai sentito parlare? Che la luce avesse qualcosa di strano lo si poteva sospettare, ma qui ci si spinge oltre. Anche perché non è finita: cosa dovrebbe succedere quando un fotone si ferma? Beh, non si ferma mai! Per definizione non può cambiare velocità e andrà sempre a c.

Questo più che sembrare fantascientifico, lo è veramente. Eppure è vero. Concentriamoci sulla quantità di moto, che è uguale alla sua energia totale (la massa è energia) per la velocità. Nelle nostre unità, quelle dove la $c$ è diversa da 1, la quantità di moto si lega all’energia come $p=vE/c^2$. Per me che vado a $u$, la quantità di moto e l’energia di un fotone hanno un valore, per voi che andate a $v$ ne hanno un altro. Ciò significa che vedremo della luce con frequenze differenti, quello che è chiamato comunemente effetto Doppler. Tipicamente lo incontriamo con il suono dell’ambulanza, ma anche i colori di una luce possono modificarsi con la nostra velocità.

In questo senso è tutto relativo, perché il tempo e lo spazio non sono separati, ma fanno parte di un’unica realtà che noi stentiamo a vedere.

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