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Collana di Fisica Classica- Relatività

La massa a riposo

Dobbiamo portare le lancette del nostro orologio un po’ indietro, più o meno di 100 anni, e tornare nel 1905 quando il castello di Newton cominciò a vacillare dalle fondamenta.

Di problemi in quel periodo ce ne furono parecchi, ma almeno uno fu risolto quasi subito dalla stessa persona che lo creò: Albert Einstein.

Scomodiamo la seconda legge della dinamica, quella che definiva la forza come la variazione della quantità di moto, perché qui c’è una magagna da mettere in luce: $$\vec{F}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}$$

Per noi è assolutamente normale pensare che quella formula diventi $\vec{F}=m\vec{a}$, proprio perché la massa è un qualcosa d’immutabile, un po’ come il tempo. In realtà non è così, in questo strano mondo la velocità cambia tutto: $$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

Con questa strana uguaglianza, la massa è definita come un rapporto di due grandezze. Al numeratore troviamo $m_0$, chiamata massa a riposo. E’ quella che conosciamo noi, la massa che un corpo ha quando sta ferma. Eppure la formula ci sta raccontando che non coincidono sempre, a guardarla bene più andiamo veloce più la nostra $m$ diventa grande.

Per chi sta attento alla linea, buone notizie: seppure la bilancia darebbe risultati sconfortanti, non significa che le maniglie dell’amore si stanno allargando, semplicemente sta cambiando il nostro riferimento. Se il peso a cui state puntando è 70 chili, siate pronti a correggerlo al rialzo man mano che la vostra velocità aumenta. Tutto qui, potete continuare a mangiare regolarmente!

La $c$ sarebbe la velocità della luce che stiamo prendendo come riferimento, ci hanno fatto una testa così che nulla va più veloce della luce e direi che è arrivata l’ora di cominciare ad usarla. La nostra velocità è invece $v$, e vediamo cosa trasforma pensando a qualche numero.

Se stiamo fermi tutto è molto semplice. La $v$ vale 0, zero diviso qualsiasi numero fa sempre zero, e al numeratore ci troviamo la radice di uno (sempre uno). Ci scopriamo ottimi calcolatori (almeno per me è una sorpresa) e concludiamo che la nostra massa coincide con quella a riposo.

Per non farci troppo male acceleriamo un bel po’, andiamo a un millesimo della velocità della luce. Se ci pensate non è da buttare, perché staremmo percorrendo circa 300 chilometri ogni secondo. Anche Superman ci fa un baffo. Visto che compare il quadrato, significa che il termine sotto la radice, semplificando il semplificabile, ci viene $0,99999$. Non mi azzardo a fare il calcolo, ma direi che non dev’essere cambiato moltissimo rispetto a prima. Solo se vogliamo essere precisi, ci renderemmo conto che la nostra massa è diventata un pochino più grande. Al momento siamo a circa $1,000005$ volte la nostra massa a riposo.

Proviamo ad accelerare vertiginosamente e arriviamo ad una velocità di crociera del 90% la velocità della luce. Significa che più o meno riusciamo a percorrere 270000 chilometri ogni secondo. Pazzesco. A questo punto qualcosa è cambiato, perché al denominatore il nostro $1$ è diventato $0,43588989435407$, e la nostra massa si è poco più che raddoppiata.

E’ vero che fa impressione a pensarci (la massa costante era uno dei capisaldi della nostra esperienza), però queste correzioni sono veramente misere, quasi deludenti. Per raddoppiare ci siamo dovuti spingere a delle velocità vertiginose. E’ questo il motivo per il quale nessuno se n’era mai accorto fino all’altro ieri: la massa cambia con la velocità, ma i cambiamenti sono veramente ridotti che non avremo mai occasione di vederli nella nostra vita.

Il principio di relatività

Un’occhiata al principio di relatività l’abbiamo già data. Coi robottini, avevamo capito che il nostro mondo non cambia finché siamo fermi o ci muoviamo di moto rettilineo uniforme: per i nostri sensi è esattamente la stessa cosa. Gli oggetti cadranno come ci aspettiamo e non vedremo movimenti strani.

Misura relativa

Riprendiamo i nostri robottini, solo che questa volta uno sarà molto più scansafatiche. Prima di far partire il corridore, chiediamo a entrambi di misurare con i loro metri la posizione del punto P. Visto che partono insieme, siamo abbastanza sicuri che ci daranno la stessa risposta. Da bravo vettore, il punto P avrà le sue coordinate $(x,y,z)$.

Ora mettiamo in moto il nostro corridore e aspettiamo qualche istante, le lancette del nostro orologio ci dicono che il tempo è diventato $t$. La situazione è cambiata radicalmente.

Trasformazioni Galileiane

Per ciascuno dei concorrenti abbiamo 4 valori che possono esserci utili: tre per le direzioni dello spazio e uno per il tempo. Associamo la quaterna $(x,y,z,t)$ al pelandrone e $(x’,y’,z’,t’)$ al corridore. Il tempo, $z$ (la coordinata fuori dal foglio) e la $y$ non ci creano problemi, sono esattamente corrispondenti.

E’ la direzione dove il robot sta correndo a crearci qualche difficoltà. Su questa infatti, la componente del punto P cambierà tra i due robot: il corridore è ovviamente più vicino, e per capirlo dobbiamo sapere di quanto si è mosso rispetto al pelandrone. Se scorrazza ad una velocità $u$, risalire a quanto si è avvicinato rispetto al pelandrone è abbastanza facile: sarà la velocità moltiplicata per il tempo per il quale il corridore ha corso. Possiamo quindi dire che $$x’=x-ut$$ $$y’=y$$ $$z’=z$$ $$t’=t$$

Le ultime tre coordinate ovviamente coincidono, mentre per la direzione di corsa le differenze si vedono. La $x’$, la coordinata del corridore, è più piccola della $x$ del pelandrone della distanza per la quale si è avvicinato nel tempo in cui ha corso.

Possiamo anche complicarci la vita e farlo mettere a correre in una direzione che incasini tutte le componenti, ma il succo cambierebbe poco. Passare dal punto di vista del pelandrone a quello del corridore si può fare con “poco” sforzo. Queste sono le famose trasformazioni galileiane.

La cosa curiosa è che a questo punto possiamo usare qualsiasi quaterna, del pelandrone o del corridore, e le formule che ci ha dato Newton non cambieranno affatto. Rimarrano tali e quali, e tutto ciò che potremo osservare non ci aiuterà in alcun modo a capire se stiamo faticando insieme al corridore o siamo spaparanzati insieme al pelandrone.

Questo principio di relatività, visto da questo punto di vista, è una bella seccatura.

La velocità della luce

E ora veniamo ai problemi, perché le prime crepe si sono sentite prima del 1905. A un certo punto i fisici di tutto il mondo hanno cominciato a trovarsi davanti a un muro. La velocità della luce.

L’elettromagnetismo all’epoca era la nuova frontiera. I fenomeni elettrici, magnetici e della luce erano sulla cresta dell’onda e tutti cercavano di riuscire ad incastrarli con la teoria classica che così bene aveva funzionato fino ad allora.

Eppure qualcosa non tornava. Le equazioni di Maxwell sembravano non obbedire al principio di relatività. Era mai possibile che l’elettricità si comportava in un modo in un laboratorio sul lago, e in un altro a bordo di un treno? Sarebbe stato interessante, eppure c’era qualcos’altro. Le equazioni di Maxwell ci assicuravano che la luce, da brava onda elettromagnetica, si propagava alla sua velocità di circa 300000 km/s ($c$). In tutte le direzioni.

Dato interessante, ma noi siamo abituati che la velocità relativa dipende da quella dell’osservatore. Se dobbiamo superare una macchina che sta andando a 130 km/h, il sorpasso sarà lungo se la nostra velocità non è molto più grande. Cosa succede con la luce? Proviamo a giocare con le lampadine.

Riprendiamo i nostri robottini e facciamo fare loro un’altra missione. Diamo loro due lampadine e chiediamo di misurare la velocità della luce in tutte le condizioni. Non so come possano organizzarsi, ma sono robot e ci fidiamo.

La velocità della luce è assoluta

Finché il corridore corre ad una velocità $v$, la nostra esperienza ci fa immaginare che:

  • il pelandrone ci dirà che la velocità della sua lampadina era $c$, mentre quella del corridore era $c+v$;
  • il corridore riporterà invece che la sua velocità era $c$, mentre quella del pelandrone era $c-v$.

La velocità $v$ si dovrebbe sommare o sottrarre a quella della luce in base a chi sta guardando. E invece lo volete sapere che cosa succede? Tutti ci dicono che i loro misuratori restituiscono sempre un solo valore, $c$.

Qualcosa non torna! Chi ha sbagliato? Newton con le sue leggi della dinamica, oppure Maxwell con le sue equazioni? Dovete pensare che a quel tempo l’elettrodinamica era una giovincella, aveva non più di 20 anni, in quanto a età c’era poco da dire. L’errore doveva essere da qualche parte tra le equazioni di Maxwell. Perlomeno dovevano rispettare il principio di relatività. Bisognava assolutamente cambiarle perché tutto tornasse. Non poteva essere che la fantastica teoria della fisica classica vacillasse.

Le trasformazioni di Lorentz

Eppure capita ogni tanto che qualcuno pensi fuori dal coro. Soprattutto quando non ci sono strade segnate, ognuno tenta la propria sperando di avere ragione. Fu così che, mentre tutti si concentrarono a riscrivere le equazioni dell’elettrodinamica, Lorentz girò il problema.

Poniamo per un momento, ma solo per un momento, che a prenderci una cantonata non sia stato Maxwell. Che il principio della relatività valga, ma sono le trasformazioni galileiane a non andare bene. Cosa potremmo fare? Proviamo a cercare un sistema di trasformazioni per il quale i fenomeni elettromagnetici non cambino in base alla nostra velocità. Vogliamo che le equazioni di Maxwell siano le stesse per il robottino pelandrone e per il corridore. Facciamo fare qualche calcolo a Lorentz e sentiamo che cosa ha da dirci quando ha finito.

Magari non avrà avuto i suoi robottini, ma la sua risposta non tarda ad arrivare. Secondo lui c’è un modo perché il mondo del pelandrone $(x,y,z,t)$ e quello del corridore $(x’,y’,z’,t’)$ coincidano. Basta usare questi formuloni $$x’=\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$ $$y’=y$$ $$z’=z$$ $$t’=\frac{t-uxc^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

E noi che ci aspettavamo un mondo semplice! Il punto di partenza non sembrava così difficile eppure le cose cominciano a complicarsi. Questo sistema di equazioni così ingarbugliato sono le trasformazioni di Lorentz e Einstein capì poco dopo Poincaré che erano loro a dover essere guardate. Non poteva essere che un esperimento di meccanica o di elettromagnetismo riusciva a discriminare il moto da uno stato di quiete. Tutte le leggi fisiche dovevano rimanere invariate sotto una trasformazione di Lorentz.

Queste parole risuonarono come macigni. A dover cambiare tutto non doveva essere l’elettromagnetismo, ma quelle leggi che erano sembrate così perfette negli ultimi 300 anni. Se non è rinnovamento questo!

E’ stato a questo punto che la massa costante è stata sacrificata, per diventare quella strana formula che abbiamo visto prima. In realtà ad osservarla bene ora, le analogie con le trasformazioni di Lorentz sono abbastanza evidenti. Quello strano denominatore è l’unica cosa costante che ci ha accompagnato per tutto lo scritto, ci avete fatto caso?

Eppure c’è un’ultima cosa da mettere in luce, che a pensarci bene è assolutamente destabilizzante. La Natura a quanto pare ha in serbo per noi una sorpresa niente male, perché le trasformazioni di Lorentz non toccano solo la direzione di corsa del robottino, ma anche il tempo. Proprio quel tempo che non sappiamo definire, ma che usiamo così bene. Dobbiamo esser pronti a sparigliare le nostre idee di spazio e tempo, proprio come fece Einstein, per capire che cosa ci stanno nascondendo.