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Collana di Fisica Classica- Relatività

L’apparato di Michelson e Morley

In questo nuovo mondo in cui ci stiamo addentrando è tutto molto strano, dobbiamo procedere con cautela per non perderci. E’ come tornare bambini, quando tocchiamo tutto per capire in che strano posto ci troviamo. Così strano che prima o poi ci diventerà familiare.

Facciamo un gioco, è lo stesso gioco che Michelson e Morley hanno usato per cercare di misurare la velocità della Terra, cercando il cosiddetto vento d’etere. Ma questo a noi ora non interessa, anche perché alla fine non ce l’hanno fatta. Prendiamo una delle due lampadine che abbiamo usato nella scorsa lezione, quella in cui abbiamo cominciato a parlare di relatività speciale, e diamoci da fare.

A parte la lampadina, avremo bisogno di uno specchio un po’ speciale. Un po’ specchio riflettente, un po’ vetro della nostra finestra che fa passare la luce. Quello che vogliamo fare, è puntare la nostra lampadina contro di questo e vedere che il fascio di luce si divide in due parti: una verrà riflessa verso l’alto, mentre la seconda riuscirà a passare senza essere deviata nel suo cammino. In questa maniera da un solo fascio ne riusciamo ad avere due che procedono in maniera perpendicolare. E qui la fantasia non la sto ancora usando, perché qualcosa del genere si può veramente avere, basta usare un po’ di simpatiche proprietà della luce.

Procurato questo specchio speciale, prendiamone altri due normali, di quelli che riflettono tutto, e il nostro nuovo giocattolo è praticamente pronto.

Esperimento di Michelson Morley

Vediamo che cosa abbiamo dall’immagine (sapete che non avevo veramente idea di come disegnare i fasci di luce?). La frecciona orizzontale a sinistra raggiunge A come la nostra luce arriva sullo specchio speciale. A questo punto da A ci sono due fasci neri: il primo si muove verso l’alto, verso B, mentre il secondo continua indisturbato il suo cammino verso C. In questi punti abbiamo i nostri specchi normali, che da bravi specchi rifletteranno la luce (e avremo le ondine arancioni).

A questo punto la palla torna allo specchio A, che si comporterà esattamente al contrario di quanto aveva fatto prima. Questa volta lascerà passare il fascio verticale e devierà quello orizzontale verso il basso. Risultato? I due fasci si riuniscono e procedono insieme verso il basso.

C’è da chiedersi come si gioca con questo nuovo gioco. Un po’ di pazienza perché possiamo sostituire le nostre vecchie macchinine con i fasci di luce: avviciniamo e allontaniamo gli specchietti B e C per vedere chi arriva prima. Se AB è più corto di BC allora vince il fascio verticale, altrimenti quello orizzontale. Possiamo anche incaponirci a farli esattemente uguali: in quel caso riusciremo a ricreare esattamente la luce della lampadina iniziale. Nella figura di prima mi sono divertito a disegnare proprio questa situazione particolare.

Michelson e Morley in movimento

E’ arrivata l’ora di complicare il gioco. Se fino a questo momento abbiamo tenuto tutto fermo durante la gara dei fasci, ora proviamo a fare un’altra cosa: muoviamo gli specchietti. Non saranno solo i fasci a correre per la loro gara, ma tutto l’apparato si muoverà. Non complichiamoci troppo la vita, facciamo scorrere tutto nella direzione orizzontale per semplicità.

A questo punto la domanda sorge spontanea, chi vince? Ragioniamoci un attimo e guardiamo i fascetti separatamente.

Tragitto dell'esperimento di Michelson e Morley in movimento

Il fascio orizzontale avrà un tratto più grande da percorrere durante l’andata. Lo specchietto si sta allontanando durante la gara e la luce (l’ondina nera) ci metterà un po’ di più a raggiungerlo. Tutta questa fatica in più però verrà ripagata al ritorno: appena si è girato, il fascio (l’ondina arancione) si ritrova lo specchietto A che punta diretto verso di lui. Una bella comodità, non c’è che dire.

Il fascio verticale invece è molto più sfortunato. Qui sta cambiando tutto perché per raggiungere lo specchietto dovrà muoversi in diagonale, sia all’andata che al ritorno. Disegna un triangolo, e con un po’ di geometria potremmo trovare quanto è il tempo impiegato.

In realtà i calcoli non sarebbero complicati per nessuno dei due. Ci sarebbe solo da perderci un po’ di tempo. Visto che un po’ del mio l’ho impiegato non vi riporto i calcoli, solo il risultato. Con mia grande sorpresa vince il fascio verticale! Se avessi dovuto puntare tutti i miei soldi e rispondere a sensazione mi sarei giocato l’altro…questa volta mi è andata bene!

Animazione dell'esperimento di Michelson e Morley

Se siamo arrivati fino a qui, siamo pronti per dire che nulla di quello che ci aspettiamo succede in realtà.

La contrazione dello spazio

L’idea di questo gioco è di avere un qualcosa che riuscisse a misurare la velocità di scorrimento di tutto l’apparato. A pensarci bene potrebbe essere una cosa utilissima. Le palline dell’animazione che scorrono e i loro tempi di arrivo sono un indizio inequivocabile se l’apparecchio si sta muovendo oppure no, e soprattutto di quanto.

Facciamo sì che i fasci di luce arrivino insieme a “bocce ferme”. Questo sarebbe il nostro punto di partenza e il nostro riferimento. In fondo non è poi così difficile, dobbiamo solo stare attenti a mettere gli specchi B e C alla stessa distanza da A. A questo punto siamo pronti, perché ogni minima velocità in un senso o nell’altro ci sfaserà tutto e i fasci non saranno più contemporanei. Voi direte, che ci facciamo? Semplice, andiamo contro la fisica!

Prima di stravolgere tutto, provate a pensare a quanto sarebbe stato utile qualche secolo fa, quando si credeva che il Sole girasse intorno alla Terra. Niente roghi, battaglie o eresie. Con il nostro pianeta in movimento i fasci sarebbero arrivati separati, altrimenti ci sarebbe stato sincronismo. Poche storie.

Ma non è solo questo, perché si può fare molto di più, per esempio buttare alle ortiche il principio di relatività. Eppure questo dannato macchinario un centinaio di anni fa ha mostrato una cosa sorprendente: non importa come lo facciamo muovere, i due fasci di luce arriveranno sempre insieme. Questo è stato un duro colpo per la fisica conosciuta fino a quel momento, c’era qualcosa che non andava e che bisognava capire.

Bisognava ripartire da quello che si sapeva, e Maxwell poteva aiutare. In quelle equazioni si annida il valore della velocità della luce: lui diceva che una perturbazione sulle cariche elettriche creava un’onda ad una velocità ben precisa. A noi ora interessa solo quest’ultima parte. Avendo un valore di velocità per i fasci di luce, abbiamo un punto di partenza. Siete pronti a non dar più retta ai vostri sensi?

Dimentichiamoci di tutto quello che sappiamo, e ragioniamo sulla definizione che noi diamo alla velocità $$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$

Con questo rapporto, sappiamo che la velocità cresce all’aumentare dello spazio percorso e al diminuire del tempo impiegato. Nelle gare di velocità, quando lo spazio è fissato, non si può che lavorare sul secondo. La nostra richiesta ora è al contrario, vogliamo poter variare spazio e tempo perché la velocità della luce resti costante.

Per farlo ci sono infiniti modi, e tanti calcoli se vogliamo capire quale ci serve in particolare. Ma a noi ora basta capire come funziona il mondo, non spaccare il capello.

Se il giocattolo di Michelson e Morley non funziona come speravano, qualcosa ci starà pur dicendo. La scorsa lezione abbiamo visto che fu Poincaré a capire una cosa fondamentale: non ci può essere nessun esperimento che permetta di discriminare uno stato di moto (rettilineo uniforme) da uno di quiete. Quindi se noi andiamo alla velocità della luce oppure siamo fermi, la nostra percezione del mondo non cambia.

E non deve cambiare neanche quella dei fasci di luce, con apparecchio fermo o in movimento. Salite a cavallo di uno dei due e proviamo ad immaginarci cosa succede. Io non vi dirò in quale direzione l’apparecchio si muoverà e voi non potrete capirlo.

Ora che siete saliti posso confessare a tutti quelli a terra che la vostra direzione sarà quella orizzontale. So bene che il percorso sul vostro fascio sarà più lungo, è la stessa situazione di prima. Eppure il giocattolo di Michelson e Morley non funzionava prima come ci aspettavamo e non può farlo neanche ora. Voi vedrete che il percorso del vostro fascio sarà esattamente quello che vi aspettate se l’apparecchio fosse fermo. Ciò significa che lo spazio per voi si contrae.

E’ necessario per il principio di relatività. E’ un complotto di cui non ci si può accorgere. Del resto in altre condizioni è una situazione accettabile. Pensatevi un attimo su un vagone di un treno e mettetevi a giocare con una pallina. Lanciatela in aria e riprendetela con la mano. Per voi il suo percorso sarà rettilineo: prima verso l’alto e poi verso il basso. Eppure qualcuno sulla banchina la penserebbe diversamente: visto che il treno è in movimento, la traiettoria della palla sarà una parabola (il vostro lancio verticale più il movimento orizzontale del treno). Chi ha ragione?

Alla fine potreste ammettere che siete voi ad essere in torto, ma solo concentrandovi su qualcos’altro e prendendo un riferimento: i finestrini ad esempio. Vedreste muoversi il passaggio fuori, sapete che il treno si muove, capite che vi state muovendo. Ma se non avete finestrini, paesaggi o esperienza? Se siete nello spazio profondo, nessuna luce, nessun suono e nessuna sensazione, come fareste a decidere se siete fermi? Chi ve lo dice che il nostro sistema solare o la nostra galassia non sta procedendo a delle velocità vertiginose? Lo ripeto, questo principio di relatività è una bella scocciatura.

Contrazione spaziale

L’allungamento del tempo

Stiamo contraendo lo spazio nella direzione del moto, Lorentz disse che se $L_0$ è la lunghezza in quiete, questa in velocità si accorcerà fino a $$L_{||}=L_0\sqrt{1-u^2/c^2}$$

Eppure non è finita qui, perché ritoccare solo lo spazio non basta. La velocità non rimarrebbe costante. Sorpresa delle sorprese, se lo spazio si accorcia il tempo rallenta.

Normale scorrere del tempo Scorrere del tempo rallentato

Qui stiamo andando nella fantascienza, ma non vi avevo preparato a non dar più retta ai vostri sensi? Sembra molto intrigante quello che succede quando si comincia ad andare molto (ma molto) veloci.

Semmai vi trovaste a guardare qualcuno su una navicella spaziale, vi sembrerà tutto molto strano. E’ come se rallentasse tutti i movimenti. Un po’ come un video al rallentatore. Sempre senza dimenticarci che tutto sarebbe ristretto nella direzione del moto… Io m’immagino delle scene molto buffe.

Per l’uomo sulla navicella scorrerebbe un secondo, per noi che stiamo fuori $1/\sqrt{1-u^2/c^2}$, che sarebbe un po’ di meno (dipende da quanto va veloce).

La cosa veramente strana è che nulla sarà in disaccordo per l’uomo sulla navicella. Il suo battito cardiaco, i suoi processi di pensiero, il tempo per invecchiare. Tutto rallenterà, senza alcuna esclusione. Per il principio di relatività o forse perché, in fondo, non siamo così bravi a misurarlo questo tempo.

Potreste vivere di più addirittura, certo finireste col battere tutti i record di raffreddore più lungo della storia se doveste prenderne uno.

Se però non siete convinti, c’è una cosa che si può spiegare solo con questa strana scoperta. Tra le tante particelle che esistono in fisica, ce n’è una in particolare, il muone. Non è che sia molto longeva, la sua vita media si aggira intorno ai $2,2\times 10^{-6}s$ (cioé 0,0000022 secondi). Quando i raggi cosmici ci raggiungono, l’interazione con l’atmosfera lo crea e lo fa viaggiare verso di noi, finché non si disintegra su qualche ostacolo o sparisce naturalmente.

Eppure qui c’è qualcosa che non va. La distanza tra l’atmosfera e il suolo è di circa 10 km, anche se andassero alla velocità della luce, 300000 km/s, non riuscirebbero a percorrere più di di 600 metri. Come diamine fanno ad arrivare fino a noi?

Diversi muoni hanno diverse velocità, alcuni raggiungono velocità molti vicine a quelle della luce. Spero che questo vi basti perché se Lorentz ha ragione tutto torna magicamente. Loro sono convinti di vivere per non più di due microsecondi, eppure per noi, ben stabili sulla Terra, il loro tempo è considerevolmente più lungo. Abbastanza per raggiungerci.

Sembra incredibile, eppure quel fattore $1/\sqrt{1-u^2/c^2}$ è perfettamente in accordo con la nostra situazione. Anche se non sappiamo cos’è un muone e per quale esotica ragione si dovrebbe disintegrare, sappiamo perché riusciamo a vederlo. E’ questo è il bello.