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Collana di fisica classica-Dinamica

Conservazione della quantità di moto

Non abbiamo ancora finito con la quantità di moto, perché abbiamo capito che è il tramite su cui le forze agiscono per cambiare lo stato di un corpo e si merita un altro po’ di attenzione. Queste forze possono fare cose complicatissime, ma la quantità di moto totale finisce sempre con il conservarsi, un po’ come faceva l’energia. A differenza di prima però, l’affermazione è meno “sciamanica” e più logica di quanto possiamo pensare.

Abbiamo detto che la quantità di moto è una grandezza che ci parla non solo delle velocità dei corpi, ma anche della loro massa. In questa maniera noi possiamo sapere quanto quel corpo sarà disposto a cambiare il suo stato di moto, e quindi quanta forza riuscirà a sviluppare se andrà a sbattere da qualche parte. E’ un anello di congiunzione tra la cinematica e la dinamica. Se avete studiato tutto -velocità, accelerazione e posizione – allora siete pronti a vedere come quello che sapete si metterà in comunicazione con il mondo esterno.

Quando il nostro oggetto, studiato fin nei minimi dettagli, comincia a fare forza su qualcos’altro, sappiamo che la sua riserva è la quantità di moto: quella ha e quella può usare. Questo è in qualche maniera rassicurante, perché se riuscisse a fare più forza di quella che è nelle sue corde, avremmo un altro bel quesito da dipanare! Da dove dovrebbe venire questo surplus? Metterebbe in crisi un po’ tutto, non trovate?

E pensate se il corpo che subisce la forza, vedesse una variazione della quantità di moto diversa. Sarebbe ancora più drammatico! E’ come se passassimo un pallone al nostro compagno e questo, invece che rotolare dolcemente, verrebbe sparato in orbita. Un non-senso bello e buono!

Questa quantità di moto si deve conservare, quel che succede succede! E’ una certezza che abbiamo, e ce la teniamo stretta.

Il terzo principio della dinamica usa azione e reazione, e quanto detto potrebbe essere ripetuto in un’altra maniera. Se un corpo aumenta la quantità di moto per effetto di un altro, quest’ultimo vedrà diminuire la sua quantità di moto di esattamente lo stesso valore per effetto del primo. E’ un po’ più arzigogolato, ma in questa forma non ci sono corpi che subiscono, e tutto è più democratico. Ognuno fa la sua parte.

In questo caso le forze sono interne, cioé ognuno dà quel che vuole dare e non c’è alcun intervento esterno: è una questione che si risolvono fra di loro. Finché rimaniamo nel caso “interno”, sappiamo che la quantità di moto totale si sta conservando. Cioé possiamo scrivere che $$m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+m_3\vec{v}_3+m_4\vec{v}_4+…=\text{costante}$$

Magari potevo anche non metterla questa formula, ma mi sembrava una buona occasione per allenare anche un po’ la nostra fantasia scientifica. La cosa più importante di questa formula infatti, sono i puntini: lo so che lasciano un senso d’indefinito, ma da bravi sognatori dobbiamo imparare ad avere a che fare con casi generici. Quando cerchiamo qualcosa che sia vera, deve esserlo sempre, per ogni situazione. Per questo quei puntini ci stanno lasciando delle porte aperte: volete prendere cinque corpi? Quei puntini vi lasciano l’opportunità di aggiungerne un altro. Ne volete solo tre? I puntini ve ne fanno togliere uno. Stanno lasciando spazio alla nostra fantasia e ci stanno ammonendo che qualsiasi situazione ci stiamo immaginando, i nostri risultati devono andare bene anche per tutti gli altri.

A questo punto accendiamo la forza esterna, cosa succede? Quello che ci dice la seconda legge della dinamica è che una forza fa variare la quantità di moto. Diciamo che questa forza agisce solo sul corpo 1, se riscriviamo un attimo la formula, dobbiamo fare un piccolo appunto $$\vec{F}=\frac{d}{dt}(m\vec{v})_1$$

$\vec{F}$ e $\vec{v}$ sono vettori, quindi praticamente questi problemi come vengono risolti? Esattamente come abbiamo fatto all’inizio con la velocità: guardiamo tutte le componenti separatamente, la legge continua a valere, e rimettiamo tutto insieme alla fine. Quella formula che abbiamo scritto, in realtà per noi sono tre: una per ciascuna componente. Dobbiamo ricordarci che quando abbiamo a che fare con i vettori, dobbiamo sempre risolvere tre “mondi” separatamente, la x, la y e la z (due solo quando siamo fortunati). Ci vuole sempre tanta pazienza quando capitano queste situazioni, è per questo che cerchiamo sempre di lavorare con meno componenti possibili…

Il principio di relatività

A questo punto avremmo tutto per andare avanti, ma questi scambi di quantità di moto li vedrei un po’ meglio. Mi sono immaginato due robottini che corrono: forniamogli la stessa energia per fargli funzionare, e siamo sicuri che si comporteranno esattamente alla stessa maniera. Avrei potuto usare la pecora Dolly e il suo clone, ma vai a convincere una pecora a mettersi a correre quando vuoi tu.

Inizialmente questi robottini sono fermi, uno di spalle all’altro. Si tengono in piedi, ma non si muoveranno finché non li accendiamo: stanno aspettando che qualcuno prema il bottone per mettersi a correre. Se sono uguali, possiamo essere abbastanza sicuri che lo fanno con la stessa velocità, ma verificarlo non fa mai male. Proviamo se tutto funziona.

Uguale quantità di moto

Abbiamo piazzato un sistema sofisticatissimo per verificare che tutto funzioni. Telecamere, fotocellule, un misuratore di velocità, computer ultra-veloci: roba seria, ma tanto è tutta nella nostra testa e possiamo permetterci qualsiasi spesa!

Dai dati raccolti, troviamo fortunatamente che tutti e due vanno ad una velocità $v$. Questo ci rincuora! Noi sappiamo che gli abbiamo dato la stessa energia, ma se la loro velocità è uguale significa anche la forza sviluppata dai loro circuiti deve essere la stessa.

Anche se la spesa nella nostra testa può essere qualunque, purtroppo il mio venditore aveva un solo misuratore di velocità. Possiamo anche arrangiarci, ma dobbiamo un attimo perderci in un discorso complicato: la relatività. Non quella di Einstein, per quella ci vuole ancora un po’. siamo piuttosto interessati a vedere come cambiano le velocità se noi ci muoviamo mentre le misuriamo. Se capiamo il perché di quello che vedremo, questa quantità di moto ce la possiamo gestire in tutte le salse.

Decidiamo che il nostro misuratore di velocità deve muoversi con una velocità $v$ verso destra, cosa misurerebbe a questo punto? Un qualcosa di molto strano a dirla tutta.

Principio di relatività

Dai dati raccolti, il robot che si dirige verso destra sembra fermo, mentre l’altro ora si muove ad una velocità doppia. Qualcuno si sta divertendo ad accelerare o rallentare i nostri robot a nostra insaputa? Fortunatamente no, è solo che quando il nostro misuratore si mette a registrare, bisogna ragionare su cosa stia guardando.

  • Il robot che si muove verso destra, non cambia mai la sua posizione relativamente al misuratore. Stanno procedendo esattamente insieme, quindi il robot non ha nessuna velocità relativa. La sua velocità viene compensata esattamente.
  • Il robot che si muove verso sinistra sta andando ad una velocità doppia rispetto a prima. Rispetto ad un sistema di riferimento assoluto, come con il misuratore fermo. Potremmo intuire che nella nostra misura stiamo sommando la sua velocità a quella del robot, con un effetto opposto a prima.

E perché a noi non capita mai un qualcosa del genere? La risposta è semplice, perché siamo troppo intelligenti. Il nostro cervello ha imparato a decifrare informazioni in un mondo che continuava a muoversi e ha capito come orientarsi. Se salissimo in macchina con il misuratore per seguire il robot di destra, faremo i seguenti ragionamenti:

  • Io sono fermo?
  • Vedo le cose che scorrono come quando mi muovo in macchina, quindi non lo sono. Del resto i rumori del motore e le vibrazioni mi fanno intuire che la macchina è veramente in movimento.
  • Guardo il robot, lui non si sta spotando rispetto a me, ma io mi sto muovendo, quindi anche lui lo sta facendo. Del resto il movimento delle sue gambe è perfettamene in linea con la mia esperienza di un uomo che corre.
  • Quindi il robot sta andando alla mia stessa velocità.

Vi pare mai che tutti i nostri costosi macchinari riuscirebbero a fare un ragionamento del genere? Non c’è niente da fare, siamo troppo superiori! Il discorso con il robot di sinistra sarebbe lo stesso, e verrebbe completato guardandolo in diverse situazioni. Altrimenti avremmo solo una sensazione di quello che sta accadendo, ma non riusciremmo a dire precisamente quale potrebbe essere la sua velocità.

Queste elucubrazioni sono quelle del principio di relatività. Le leggi che abbiamo capito fino a questo momento rimangono esattamente le stesse, sia se noi siamo fermi sia ci muoviamo di moto rettilineo uniforme.

Calcolo della quantità di moto totale

E’ tempo di mettere a far lavorare questi robottini. Questa volta invece di farli partire insieme, uno dei due avrà la batteria scarica. Per come sono stati progettati, toccandosi riescono a mettere in comune le loro energie. Sfruttiamo questa caratteristica e mettiamone uno in attesa dell’altro: nel momento in cui lo raggiunge, i due si metteranno a correre insieme usando l’energia di quello in movimento.

Velocità dimezzata per la conservazione della quantità di moto

Solo che devono dividersi l’energia di un solo robot, quindi la loro velocità viene dimezzata. Se prima un solo robot aveva una velocità $v$, ora in due vanno alla metà. Verifichiamolo, facendo procedere il nostro rivelatore di velocità proprio a $v/2$: al momento del contatto, i dati ci dicono che i due robot solidali sono fermi (cioé procedono con la stessa velocità del nostro misuratore). Per la scorsa lezione, la conservazione della quantità di moto, ci diceva che la quantità di moto prima del contatto doveva essere uguale a quella dopo (come con l’astronauta e le monetine): $$m\vec{v}+0=(m+m)\frac{\vec{v}}{2}$$

Possiamo anche farla più complicata. Facciamo muovere tutti e due i robot, scegliendo che il primo vada a $v_1$ e il secondo a $v_2$. I valori potrete deciderli a piacimento, l’unica cosa importante è che il primo deve andare più veloce del secondo per poterlo raggiungere. Al momento del contatto, i robot procederanno insieme e metteranno in comunione la loro energia, quindi ci aspettiamo che la velocità della coppia cambi, ma come?

Facciamo sì che il nostro misuratore vada alla stessa velocità del secondo robot, in questa maniera il primo sembrerà avere una velocità $v_1-v_2$, vi torna? Pensateci un attimo, se il misuratore si muove alla stessa velocità di uno dei robot, percepirà una velocità relativa che è proprio $v_{robot}-v_{robot}$, cioé zero! Con il primo caso che abbiamo visto, possiamo anche capire perché vedevamo una velocità doppia per il robot che andava in senso opposto: la velocità del nostro misuratore era $v$, mentre quella del robot era $-v$ (stessa intensità ma verso opposto, da buon vettore). Utilizzando la formuletta, $-v-v$, abbiamo proprio $-2v$.

Anche se in formule sembra brutto, è un discorso abbastanza intuitivo: dobbiamo sottrarre la velocità del misuratore per capire quella relativa del robot. E’ un qualcosa che si fà usualmente nel momento in cui il nostro sistema di riferimento (nel caso specifico il misuratore) è in movimento, invece di essere fermo.

La velocità registrata è quella relativa

Ogni robot partecipa con la sua velocità a quella finale assoluta (con il misuratore fermo): sarà sicuramente più grande di $v_2$, e più piccola di $v_1$. Di quanto? Dipende da quanta quantità di moto ciascuno può mettere a disposizione: visto che hanno la stessa massa, i contributi “pesano” alla stessa maniera e quindi la velocità finale sarà in mezzo a questo intervallo, cioé dovremmo considerare il valor medio: $$m\vec{v}_1+m\vec{v}_2=2m\frac{\left(\vec{v}_1+\vec{v}_2\right)}{2}$$

Le formule ora cominciano ad ingarbugliarsi, ma il nostro misuratore misurerebbe quel valore $(\vec{v}_1+\vec{v}_2)/2$ a cui però bisognerebbe sempre sottrarre la sua velocità $\vec{v}_2$. I numeri diventerebbero qualcosa di abbastanza oscuro se non sapessimo cosa sta accadendo.

Diciamo che $\vec{v}_1$ sia 10km/h, mentre $\vec{v}_2$ valga 5. In questo caso, il misuratore fermo misurerebbe 7.5 km/h (la media di 10 e 5), quello in movimento 2.5. Tra loro c’è proprio una differenza di 5 km/h, cioé la velocità del misuratore, che fa da riferimento e deve essere sottratta a qualsiasi numero misuratore.

Possiamo complicarci la vita quanto vogliamo, ma il ragionamento rimane sempre lo stesso. Sapete cosa accadrebbe se s’incontrassero due robot che corrono in una direzione e un altro in quella opposta alla stessa velocità? Ve lo dico in formule! $$2m\vec{v}-m\vec{v}=3m\frac{\vec{v}}{3}=m\vec{v}$$

Praticamente avrebbero la stessa velocità $v$ di un solo robot che corre indisturbato, senza incontrare nessuno. A dirlo senza fare tutti questi procedimenti sembrerebbe abbastanza assurdo, non trovate?

Gli urti e la quantità di moto

Ora sostituite i robot con qualsiasi oggetto vogliate, e il contatto con l’urto: tutto ciò che abbiamo visto fino a questo momento rientra nei cosiddetti urti anelastici. Un corpo va a sbattere su un altro, e insieme continuano a muoversi ad una velocità diversa.

Tuttavia questa situazione non è poi così comune, vero? Siamo più abituati a degli oggetti che sbattono e rimbalzano. Per me, il caso principe rimarrà sempre quello che mi ha segnato l’infanzia.

La velocità registrata è quella relativa

Vi giuro che da piccolo ci ho provato a far “ovalizzare” il pallone calciandolo: a malincuore devo ammettere che non è possibile…

Quando il piede arriva sul pallone, i due rimangono in contatto per un breve istante, nel quale si comprimono a vicenda. Il piede vuole continuare nella sua corsa e il pallone non ha alcuna intenzione di muoversi: proprio perché hanno un’inerzia, l’energia cinetica del piede viene trasformata in quella elastica della compressione del pallone (un po’ come fanno le molle), per poi trasferirsi a cinetica durante la decompressione.

Energia elastica trasformata in cinetica

In generale l’energia cinetica alla fine dell’impatto è inferiore rispetto a prima, come al solito ci perdiamo qualcosa per strada. Credo che dovremmo dargli un’occhiata dove sono queste fastidiosissime perdite, prima o poi. Se però proprio non ci vanno giù e non vogliamo guardarle, possiamo immaginarci un urto dove tutta l’energia cinetica diventa elastica per poi tornare ad essere cinetica: questo tipo di urti fantasiosi sono detti urti elastici.

Potremmo continuare quanto vogliamo a parlare di questi urti e della conservazione della quantità di moto, perché c’è da ammettere che ci fanno risolvere i problemi senza conoscere i dettagli. Sapete le masse dei corpi? Conoscete la loro velocità? Bene, avete tutto per dire la velocità dopo l’impatto, anche se non conoscete altri dettagli.

Diciamo che volete conoscere la propulsione di un razzo? Sapete che ha una massa $M$ ed espelle un piccolo frammento di massa $m$ con una velocità $v$. Facciamolo partire da fermo, e usiamo ancora la conservazione della quantità di moto ($MV-mv=0$), per dire che la sua velocità sarà $$v=\frac{m}{M}V$$

Abbiamo già capito cos’è la velocità di fuga, ora sappiamo anche che finché il razzo espelle materiale guadagna velocità. Siamo pronti per mettere qualcosa in orbita! Chiamiamo la NASA?