Il dipolo elettrico

abstract

Partendo dalle poche equazioni dell'elettrostatica si possono costruire i campi di tantissime situazioni differenti.

Peccato però che non sia così semplice come ci vorrebbero far credere. Per dare una forma al campo di un dipolo ci vuole fantasia, tanta fantasia. E pure qualche regola generale pescata qua e là.

La costruzione del campo di un dipolo

E’ arrivata quella fase che mi è sembrata fin dalla prima volta “machismo scientifico”. Abbiamo fatto il nostro ingresso nel mondo dell’elettromagnetismo che è così lontano da quello dei pesi, spinte e rotolamenti. Lo abbiamo fatto in maniera molto cauta e abbiamo ben chiaro che ciò che succede nella realtà è ancora lontano anni luce.

La grossa sfortuna è che noi complicatissimi meccanismi meccanici possiamo sempre vederli, mentre i campi e le cariche ce li possiamo solo immaginare. E allora diventa necessario fissare le idee. Fin qui tutto giusto. Solo che ho sempre sorriso al modo con cui viene fatto. E’ la fase della carrellata di esempi, quella in cui m’immagino il professore che ti prende in privato per dirti, “Vedi? Con due semplici formule posso risolvere tutte queste cose! Ti sfido a dimostrarmi che sono inutili e non te le devi imparare”.

Semplici però è un concetto molto relativo, soprattutto quando bisogna applicarle. E poi rimaneva sempre quel gusto di artificioso da cui non ci si riusciva a staccare. Avete mai sentito l’impellenza di calcolare il campo all’interno di una sfera o tra due lamine cariche? Io personalmente no, ma questo al professore di cui sopra non l’ho mai potuto far notare.

Però è vero, il campo non si può vedere e qualcosa bisogna pur fare. Anche perché, stranamente, due lamine cariche possono rivelarsi utili e finiamo con usarle in tutti gli apparecchi elettronici. Anche senza saperlo.

Quindi un po’ di pratica ci tocca, anche perché le formule non possono calare dall’alto. Ci raccontano la situazione ok, ma non devono mica essere un atto di fede! Prendiamo per esempio un dipolo, cioé aggiungiamo una seconda carica $-q$ alla nostra isolata. I calcoli li hanno già fatti e ci vuole poco a trovare le formule che regolano tutto. Volete il potenziale? Nulla di più semplice $$\phi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\hat{e}_r}{r^2}$$

Da qui possiamo fare un gradiente e trovare immediatamente anche il campo elettrico, diviso persino nelle sue componenti: $$\begin{align} E_z&=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}\\ E_x&=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3zx}{r^5}\\ E_y&=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3zy}{r^5} \end{align}$$

A me non fecero proprio così, ma poco ci mancò. La ricerca di un appiglio portò a scarsi risultati, quindi ripartii dall’inizio. Non dico per capire, ma almeno per avere un’idea. Rifacciamolo insieme.

Davanti alla mia carica $q$, proviamo a buttare nelle sue vicinanze una di segno opposto. Come se apparisse una molla dal nulla, le due cariche sono attirate subito una rispetto all’altra. E’ tutto così rapido che quasi non riusciamo a renderci conto che via via che sono più vicine, la loro velocità aumenta vertiginosamente. E’ all’opera il campo che non riusciamo a vedere.

Qualche casino succederà a questo punto. Magari andranno a sbattere, si agiteranno un po’ e infine si sistemeranno a una certa distanza l’una dall’altra. Non la conosce nessuno a priori, è per questo che viene chiamata genericamente $d$. Quello che è stato all’opera finora era quel campo sferico di cui ci parlava la legge di Gauss. Ma ora che le due cariche sono tranquille e abbiamo creato un dipolo, com’è diventato questo mare che non riusciamo a vedere?

Dalla sfera saremo sicuramente passati a qualcos’altro. Al tempo m’immaginai a una possibile interrogazione in cui ero visibilmente impreparato. Le formule non me l’ero imparate quindi l’unica chance era affidarsi all’inventiva. I paroloni in questo caso aiutano molto e io mi sarei giocato il fatto che “con la seconda carica abbiamo rotto una simmetria”. E’ una ficata dirlo così vero? Dubito che il professore sarebbe rimasto impressionato, ma il mio votaccio l’avrei preso con stile. In realtà significa solo che ora è importante da che parte ci mettiamo a guardare le cariche. Prima no, ovunque ci saremmo posizionati, avremmo sempre avuto una forza radiale. Comunque non mettiamoci a sottilizzare.

Nella confusione delle prime volte, l’unica speranza per avere una vaga idea di cosa stesse accadendo era affidarsi ai concetti più che alle formule. Il più utile di tutti è sicuramente il principio di sovrapposizione. Il campo elettrico di una negativa è sferico e ha le linee di forza entranti, quello di una carica positiva ha la stessa forma ma con linee di forza uscenti.

Partiamo da qui e immaginiamo di sovrapporre esattamente queste due sfere. Dopo tanta pazienza nell’allinearle che cosa avremmo se non un perfetto mimetismo? Scegliamo un qualsiasi punto, per mettere una terza carica: sarà allontanata da quella dello stesso segno e avvicinata da quella opposta. Cioé noi non vedremmo assolutamente nulla.

Eppure in un dipolo le due cariche sono distanziate della famosa $d$. Cioé il mondo non vuole essere preciso come lo siamo stati noi. Questi due campi sferici non si sovrappongono esattamente, per cui dobbiamo poter sentire qualcosa. A capire cosa, abbiamo risolto tutti i nostri problemi e trovato un senso a quelle formule.

Le situazioni particolari di un campo dipolare

Immaginiamoci subito le cose semplici. Partiamo proprio di fronte alla carica positiva (in rosso), e opposti a quella negativa (in blu).

Valore del campo di fronte alla carica positiva

Magari con le freccette è più diretto, ma che la distanza rossa sia minore di quella di quella blu è per una volta banale. Il potenziale delle cariche singole è sempre lo stesso, decade con la distanza. Quindi sentiremo delle differenze negli effetti tra la carica blu e quella rossa: vince quest’ultima, per cui è come se avessimo una singola carica positiva, un po’ meno intensa della nostra rossa. Ovviamente “un po’ meno” è generico, ma non siamo qui per fare i calcoli. Dall’altra parte il discorso è lo stesso, solo che capovolto. Avremo lo stesso effetto di quello di una singola carica negativa, un po’ meno intensa. Sempre dello stesso “un po’ meno”.

Quando si ottiene qualcosa senza faticare fa sempre bene all’autostima sbrodolarsi un po’. E ora possiamo farlo, perché sappiamo che sopra la carica rossa prevale e si ha una spinta netta verso l’alto, mentre sotto succede l’esatto opposto e qualsiasi carica sarà spinta verso il basso. Due direzioni ce le abbiamo, ce ne mancano solo un’altra infinità per finire.

Per non lasciare nulla al caso, è bene ricordarsi che quando succede qualcosa di particolare con il “sopra” e il “sotto”, tipicamente anche il “destra” e il “sinistra” hanno da dire la loro.

Valore del campo sul piano mediano

La carica rossa spingerebbe lontano quella nera, mentre quella blu la vorrebbe avvicinare. Proprio per questa opposizione, tutt’e due spingeranno verso il basso e si contrasteranno nella direzione orizzontale. La carica positiva la vorrebbe portare fuori dal foglio, verso destra, mentre quella negativa la attrae nella parte sinistra. Chi vince?

Se provate a spostare due sfere in una direzione, nell’altra ci sono due punti dove ancora si toccano. Righello alla mano, siamo proprio lì: la distanza tra le cariche del dipolo e quella nera è esattamente la stessa. Cioé nella direzione orizzontale tanto tira una quanto spinge l’altra. L’effetto si annulla e rimane solo la componente verticale. La carica nera finirà con lo scendere solo verso il basso.

Le rotazioni e la simmetria del campo di un dipolo

Rimarrebbero tutti gli altri punti, e “rimanere” è chiaramente un eufemismo perché ora le cose si fanno complicate. La situazione sarà tutt’altro che clemente, praticamente irrisolvibile. Eppure la precisione non è del nostro mondo, per quella la matematica è sempre a disposizione. A noi basta capire cosa sta succedendo.

Campo dipolo in 4 punti

Per farlo, facciamo “un passo indietro”. C’è una considerazione quasi banale sul comportamento delle cose, peccato che lo diventi solo una volta che ci abbiamo già pensato. Consideriamo che i quattro punti ricevano in modulo la stessa spinta: quelli verticali l’avranno verso l’alto, gli altri verso il basso. Una linea equipotenziale sarà il percorso che li collegherà. Muovendoci su questa, l’orientazione cambierà, ma lo farà rispettando un principio generale: la natura non ama le discontinuità.

Avete mai visto il livello del mare che a un certo punto cambia repentinamente e forma uno scalino? O un posto dove si gela e con un passo successivo ci si trova in un’assolata mattina di Agosto? Se le cose devono cambiare, la Natura ama farlo con dolcezza: adora le colline e odia i burroni. Datele tempo e tutto verrà “appiattito” come più le aggrada.

Qui è uguale, la linea equipotenziale ci porterà da una spinta verso l’alto a una verso il basso. E lo farà dolcemente come una macchina che sta girando il volante con dolcezza.

Costruizione linea equipotenziale

Come so che fa proprio così? Non lo sapevo al tempo e non lo so neanche ora. Nel collegare le freccette mi sono affidato solo a un po’ di buon senso. Se la prima spinge verso l’alto, devo cominciare in quella direzione, e con la stessa logica bisognerà concludere verso il basso quando arriviamo all’equatore. Magari non sarà proprio così, magari andrà molto più in alto o lo farà molto di meno, eppure potrei mettere la mano sul fuoco che non si metterà a fare curve strane o percorsi arzigogolati. Potrebbe non essere assolutamente preciso, ma lo è abbastanza per farsi una prima idea.

Per il resto a questo punto siamo arrivati. Perché come la natura odia le discontinuità, c’è una cosa che ama alla follia: la simmetria. Quel percorso a sinistra, in che maniera dovrebbe essere diverso da quello a destra? Cosa dovrebbe impedire che succeda esattamente la stessa cosa? Finché non sappiamo rispondere a queste domande siamo liberi di duplicare all’impazzata. Lo avremmo potuto fare anche con una singola carica partendo dalla conoscenza di una sola direzione: ne sarebbe uscita la conoscenza del campo.

La simmetria è una gran bella cosa, perché ora abbiamo chiuso la parte superiore. E alla stessa maniera lo faremo con quella inferiore. Se sopra abbiamo una carica positiva che ci dà delle linee uscenti, sotto avremo delle linee entranti. A parte questa differenza, cosa dovrebbe farci pensare che le linee equiponteziali non siano esattamente le stesse? Perché la parte inferiore non dovrebbe essere l’immagine allo specchio di quella superiore? Pure a questa domanda non sappiamo rispondere, fortunatamente, e quindi tutto è chiuso.

Simmetria linee equipotenziali

Non saremo stati precisi, ci saranno una quintalata di errori, ma questa forma a mela non dovrebbe essere così distante dalla realtà. Il fatto che esiste già qualcosa del genere in Natura è già di per sé rincuorante, perché significa che è possibile. Se invece volete pensare di essere un po’ più precisi e di volere il vero campo potenziale di un dipolo, fareste felice Homer Simpson, perché trovereste una ciambella. Chiamato volgarmente toro per darsi un tono più scientifico.

Campo tridimensionale di un dipolo