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Il nonsense di un conduttore carico

abstract

Il nonsense di un conduttore carico è un qualcosa che prima o poi s'incontra in elettromagnetismo. Si può accettare che le cariche siano tutte in superficie e il campo abbia una forma così particolare. Oppure chiedersi perché.

E' lì che si capisce che in realtà tutto è un'approssimazione e le cose sono molto più complicate. Noi vediamo tutto fermo quando laggiù sta accadendo qualsiasi cosa: si chiama equilibrio dinamico.

L’elettrone nel mare di elettroni di un conduttore carico

Parliamoci chiaro, se volete vedere i campi di un materiale conduttore le cose non tornano affatto. Almeno non per il buon senso.

Gli elettroni all’interno sono liberi di muoversi, per loro non c’è alcuna limitazione perché nessun atomo è costituito per trattenere i suoi. E’ da qui che nasce il termine mare di elettroni: si distribuiranno per produrre un campo elettrico nullo proprio come l’acqua tende a stabilire un suo livello costante. Può esserci una tempesta spaventosa causata da venti fortissimi, ma quando finirà il mare tornerà ancora una volta piatto. Alla stessa maniera, gli elettroni tenderanno ad annullare qualsiasi squilibrio cambiando disposizione. In tutto il metallo il campo elettrico sarà costante.

In “elettromagnetichese” questo si riassume con una divergenza nulla, o con un potenziale costante in ogni punto. Sembra una situazione tranquilla, ma non lo è affatto. Perché una divergenza nulla significa che per la legge di Gauss la densità di carica nell’interno del conduttore è zero.

E dove sono finite le cariche? Ci dev’essere qualcosa di strano, perché né io né voi stringeremmo il filo che esce dell’elettricità. Quello è un conduttore e preferirei mettere una mano sul fuoco: uno degli effetti sarebbe uguale, tutti gli altri me li risparmio. Sia chiaro che non ci tengo a provare per dimostrarlo!

Se non ci sono cariche in un conduttore, come potrà mai essere carico? Perché qui dobbiamo metterci d’accordo su che cosa intendiamo. Dove stanno le cariche?

Guardiamolo meglio. Io che sono un po’ megalomane scelgo un lingotto d’oro, voi potete anche accontentarvi del filo di rame. Prendiamo un elettrone e lasciamolo viaggiare, non possiamo sapere che giro farà, ma sappiamo che sarà libero. Creerà un po’ di scompiglio nel suo movimento e tutti gli altri si accorgeranno del suo passaggio. Nulla di trascendentale comunque, tutto tornerà alla normalità dopo poco. Qui però il dubbio viene: siamo sicuri che non ci sarà proprio alcuna limitazione al suo girovagare?

Potremmo fare lo stesso esempio con una goccia d’acqua in un mare. Risolte eventuali complicazioni tecniche, non ci sarebbe nulla di male se questa cambiasse posizione con la sua vicina a destra o con quella a sinistra. Neanche se andasse un po’ più su o giù. Sarebbe libera di muoversi e non ci sarebbe nulla di distinguibile appena le cose si acquietano. C’è solo una cosa che la goccia non può fare senza causare differenze: uscire.

Nel momento in cui è arrivata sulla superficie, andare ancora oltre significherebbe saltare fuori. Uscire dai suoi simili per entrare in un altro mezzo, l’aria: questo sì che creerebbe qualche casino. Diciamo che è una specie di muro su cui le goccie vanno a sbattere, è il limite del loro mondo acquatico. Per l’elettrone succede esattamente la stessa cosa.

Viene da un mondo in cui non ha limitazioni al suo vagabondare e non si aspetta differenze per quell’ulteriore passo in più. Ma si sbaglia di grosso. L’aria è costituita di atomi, proprio come il metallo del resto, eppure ora non ce ne sono di così libertini. Nessuno ha intenzione di ricevere elettroni nella stessa maniera del conduttore. Ci vorrebbe veramente troppa energia. L’aria non è mica un metallo.

E’ per questo che sulla superficie di separazione ci deve essere una gran confusione. E’ una specie di battigia in cui gli elettroni continuano a spingersi, salvo poi essere costretti a tornare indietro. Qualcuno riuscirà a schizzare fuori e proseguire, tutti gli altri invece sentiranno un muro insormontabile.

Per noi che siamo così lontani, tutto questo casino possiamo solo immaginarcelo, sentiamo solo che le cariche sono bloccate sulla superficie. Non è così ovviamente, ma è proprio l’effetto che percepiamo: in fondo quelle che tentano di uscire sono tanto numerose come quelle che vengono risbattute indietro.

L’equilibrio dinamico tra la superficie di un conduttore e il mondo esterno

Se ci deve essere un equilibrio, questo è pagato a caro prezzo. Il mondo esterno nelle immediate vicinanze deve esercitare una forza immane per limitare gli elettroni nel cambio di regime. Il campo elettrico percepito dalla molecola di ossigeno che passa da quelle parti deve essere inaudito. E infatti lo è.

Noi chiaramente non possiamo descrivere il mondo con la chiarezza atomica: se non ce la facciamo con l’elettromagnetismo classico, figuratevi con l’elettrostatica. Quindi dall’alto della nostra ignoranza, sentiamo degli effetti globali che dipingono un quadro molto diverso da quello sentito dagli elettroni.

Una delle cose che più mi affascinava da bambino era un fascio di luce che tagliava il buio di una stanza. Intendiamoci, non ero un sociopatico che passava i pomeriggi nel buio della mia cameretta, però quando capitava di vederlo ne ero estasiato. Da lontano era molto mistico, da vicino diventava estremamente curioso. Aguzzando gli occhi, si può vedere il pulviscolo agitarsi in maniera caotica: ciascun granello di polvere è in continuo movimento. E’ una danza infinita a cui partecipano proprio tutti, anche se noi non percepiamo alcun rivolo o spiffero. Tutto è fermo anche se non lo è affatto.

Pulviscolo

Questi sono i controsensi a cui dobbiamo abituarci quando ci muoviamo dalla nostra dimensione per entrare in quella degli altri. Il suo nome è equilibrio dinamico e fa si che mentre il mondo cambia, ci sono delle regole da rispettare.

Nulla vieta a una molecola di ossigeno di accettare un elettrone e cambiare il proprio stato, ma quante saranno disposte a farlo? C’è una disparità così schiacciante che ai nostri occhi gli elettroni saranno bloccati sul metallo e non potranno uscire. D’altra parte, qualche squilibrio sporadico creerà delle differenze nella distribuzione di carica prima o poi, eppure nessuno ha intenzione di tenersele: le forze elettriche che nasceranno saranno la causa dell’immediata ridisposizione. Tutto sparirà in un lampo e non possiamo accorgerci della presenza di forze elettriche che ribollono.

Il mondo con cui percepiamo ciò che accade è molto più confuso della realtà. E’ statico, determinato e quieto anche se laggiù ci sono violentissime tempeste. E del resto non potrebbe essere altrimenti, perché quello che per noi è un istante, per loro è qualche era geologica. Di cose in un tempo così lungo ne possono capitare.

Potrà sempre accadere che l’ultima in classifica batta nettamente la squadra che vincerà lo scudetto, eppure quell’impeto di orgoglio varrà solo 3 punti. Ne servono molti di più per rimanere in serie A. Alla stessa maniera la capolista può anche avere una debacle, ma la vittoria del campionato si assegna contando tutti i punti conquistati nell’arco di un anno. Per tutte le cose ci vuole continuità e non imprevedibili situazioni fortunate.

Noi abbiamo i nostri miseri strumenti per raccontare questa realtà, e quello che vediamo è un campo che è sempre normale. Non importa quale sia la forma del conduttore, il campo si disporrà radialmente proprio come faceva quello prodotto da una carica singola. Con l’unica differenza che la forma ora può essere qualunque. Potete averlo come un cubo, un libro, una patata, un appendiabito o una tazza da caffé: il campo si disporrà sempre in maniera normale. Questo perché tutti gli effetti tangenziali saranno subito riassorbiti.

Giusto qualche calcolo sul campo elettrico

Gli elettroni hanno delle rigide regole da rispettare sulla superficie: si devono distribuire in maniera omogenea senza creare ammassi o carenze. O meglio, possono anche farlo, ma le forze elettriche le riporterebbero subito all’ordine e dovranno ridistribuirsi. Queste fluttuazioni non riusciamo a prenderle in considerazione con l’elettrostatica e siamo costretti a metterle da parte.

Possiamo solo focalizzarci su un discorso medio: la nostra superficie avrà una sua estensione (chiamiamola $A$), nel quale sarà distribuito il numero di cariche presenti ($N$). Se tutto deve essere equilibrato, il numero che troveremo per una data porzione sarà sempre lo stesso (ovviamente in media), quindi potremmo parlare di densità superficiale di carica, $$ \sigma=\frac{N}{A} $$

A questo punto abbiamo il campo prodotto all’esterno, affidandoci soltanto alla legge di Gauss. Nel caso di una carica singola la superficie considerata era sferica, calcolabile come $4\pi R^2$, ora ne avremo di più complesse che abbiamo chiamato $A$. Eppure la formula non cambia $$ E=\frac{N}{A\epsilon_0} $$

Se quel $N/A$ lo chiamiamo con il suo nuovo nome di battesimo, abbiamo la formula che troverete in tutti i libri $$ E=\frac{\sigma}{\epsilon_0} $$

Tutto questo può sembrare troppo semplice per essere reale, in fondo non stiamo considerando assolutamente niente di quello che accade in realtà. E’ come se invece di dipingere come Caravaggio scarabocchiassimo sulla tela. Potremmo dire che è l’opera d’arte per una persona totalmente miope e senza occhiali, ma non credo che avremmo troppo successo. O forse si, non me ne intendo moltissimo di arte!

Eppure quella macchietta è meglio di niente, anzi è molto, moltissimo, quando vi trovate a casa (o in macchina) in mezzo a un temporale. Intorno a voi possono esserci tutti i fulmini che volete, eppure siete all’interno di un conduttore e siete perfettamente al sicuro. Non importa se ci sono scariche da 200.000 A e ne basterebbe una da 0,02 per rimanere folgorati. Ognuno di essi è in grado di scaldare l’aria fino a 50.000 gradi, eppure non c’è modo che vi possa raggiungere.

E’ come se un’enorme onda puntasse dritto verso di voi, ma vi girasse intorno invece di travolgervi. Siete all’interno di un conduttore che vi protegge, e questa importantissima proprietà l’abbiamo capita proprio disegnando una macchietta sulla tela.

David Blaine