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Collana di Elettromagnetismo

L’equilibrio stabile elettrostatico non esiste

Qualche mattoncino lo abbiamo raccolto a questo punto, quindi possiamo anche divertirci a pasticciare un po’. Vediamo che condizioni riusciamo a creare nel mondo dell’elettrostatica. Potremmo chiederci per esempio quando una carica può essere in equilibrio stabile in un campo elettrico?

Vediamo che cosa ci serve per rispondere. Anzitutto la forma del campo formato da una singola carica. Usando palline piccolissime, un telo di gomma e due dita per pizzicare, la figura ci dava un’idea abbastanza chiara.

Rappresentazione di un campo elettrostatico

Per le cariche di segno opposto il campo diventa una buca senza fondo, per quelle dello stesso segno un picco senza fine.

Il secondo ingrediente è il principio di sovrapposizione, che ci permette di mischiare campi di diverse cariche per farne uno molto più complesso.

A completare tutto aggiungiamo solo un pizzico di linee di campo per facilitarci la vita e i disegnini. Ok siamo pronti.

La nostra domanda è molto esigente. Una carica è in equilibrio se la risultante delle forze è nulla. A volte può capitare che il nostro campo lasci dei punti particolari dove tutto è perfettamente bilanciato, e “forza nulla, nessuna accelerazione” è una sicurezza. Però questo non ci basta, perché non ci vogliamo accontentare di un equilibrio instabile: in quel punto le forze saranno anche bilanciate, ma appena lo si lascia la nostra carica è destinata ad allontanarsi inesorabilmente.

E’ la stessa logica di quando un gatto cammina tranquillamente a uno sbuffo dal baratro.

Equilibrio instabile

Mai capito come fanno a essere a loro agio.

L’equilibrio stabile è qualcosa di meno precario. Una situazione che riporterà la nostra carica in quel punto appena prova ad allontanarsi. Giocando ancora con le palline, una conca come quella di un lavandino o un avvalemento qualunque sarebbero perfetti: non è importante da dove e come si parte, perché questa tornerà sempre sul fondo.

Dovremmo costruirlo con il telo elastico, ma prima di partire a pizzicare con le dita vi assicuro fin da subito che è impossibile.

Non avendo questo grado di multimedialità, dovremmo affidarci alle linee di campo per vederlo.

Un equilibrio irrealizzabile per la legge di Gauss

Se stessimo parlando di una biglia invece che di una carica, la nostra situazione di partenza sarebbe quella di averla posata su un terreno liscio. Finché non c’è un campo elettrico lei sta lì, non le fa differenza la posizione un po’ più a destra o più avanti.

Dobbiamo costruire una buca, un luogo dove le pareti bloccano le velleità della biglia e la riportano al punto in fondo. Per noi è l’equivalente di un campo elettrico per la carica: scavare lo possiamo immaginare come aggiungere linee di forza.

Costruzione di un equilibrio impossibile

Partiamo con una carica nello spazio libero, e “scaviamo” nella direzione orizzontale. Ci rendiamo conto che ogni spostamento viene subito ostacolato dalle forze. Andare a destra ci riporta a sinitra, e viceversa. L’idea funziona, quindi non ci rimane che farlo per tutte le altre direzioni e costruire la nostra buca di potenziale.

Alla fine dell’animazione arriviamo ad una carica intrappolata: qualsiasi spostamento faccia, ci sarà sempre una forza che la spingerà a tornare alla posizione originaria. Sembra perfetto…peccato che non è realizzabile.

In elettrostatica bastano due cose: la legge di Gauss e il fatto che $\vec{E}$ è un gradiente. La seconda ora non ci aiuta, ma la prima ci mette addirittura i bastoni tra le ruote.

Il flusso uscente deve essere proporzionale alla carica interna. E’ tanto comoda quando dobbiamo guardare organizzazioni di carica complesse, ma ora proprio no. Una buca come la nostra non ha certo un flusso nullo. Potete provare con qualsiasi superficie voi vogliate, ci sarà sempre un’eccedenza di linee entranti. Qui il flusso è negativo.

Se dobbiamo rispettare la legge di Gauss, il flusso ci sta chiedendo di usare qualche carica generatrice per formare quel campo. Chiaramente non può essere la nostra, lei deve subirlo non modificarselo. Direi che siamo nei guai.

Lo abbiamo preso in maniera abbastanza gratuita, ma questa condizione sul flusso ora ci sta raccontando che una carica positiva non può essere in equilibrio stabile senza delle cariche negative.

Voi mi potreste dire d’incastonare le cariche su una circonferenza come se fosse una collana di perle. In questo caso ci siamo, avremmo proprio la nostra buca di potenziale. Avete ragione, ma chi le tiene in quella posizione?

Potete sempre costruirla per carità, a patto che usiate qualcos’altro che non sia l’elettrostatica. Delle forze meccaniche per esempio: facciamo degli alloggiamenti che le blocchino e impediscano di schizzare via. Si può fare chiaramente, ma le pareti le abbiamo chieste a un muratore più che un elettricista!

Non possiamo trovare nessuna configurazione stabile

Ma questa condizione vale sempre? Non c’è qualche eccezione che possiamo sfruttare a nostro vantaggio? Magari complicandoci un po’ la vita e creando complesse configurazioni di cariche. Per esempio usiamo due cariche dello stesso segno allineate e vediamo se riusciamo a trovare una posizione per la terza.

Indovinate un po’. Ancora no! Sembra proprio che non ci sia verso.

Campo di due cariche elettriche

La figura può darci una mano. In questo caso usiamo anche i colori per rappresentare l’intensità di campo: questa scema dal rosso al blu. Chiaramente sarà più intenso in prossimità delle cariche, per spegnersi man mano che ci allontaniamo. Se proprio dovessi puntare su qualche direzione, sceglieri quella sulla linea che congiunge idealmente le due cariche. Qualsiasi altra spinge verso l’esterno, con buona pace del nostro equilibrio.

Già qui ci rendiamo conto che c’è poco da fare. La nostra conca così conca non è. Ogni spostamento verticale manderà all’aria tutti i nostri progetti di equilibrio.

Se proprio non vi fidate del disegno, possiamo anche vederlo direttamente con le formule. Perché come abbiamo detto prima, il flusso del campo (o la divergenza se vogliamo essere un po’ più tecnici) deve essere negativo. Proviamo a vederlo.

Con il principio di sovrapposizione, sappiamo che le due cariche creeranno un campo $\vec{E}_1$ e $\vec{E}_2$ rispettivamente. Quindi la nostra divergenza, che dovrebbe essere negativa, sarà in realtà $$\nabla\cdot\left(\vec{E}_1+\vec{E}_2\right)=\nabla\cdot\vec{E}_1+\nabla\cdot\vec{E}_2$$

Se doveste incontrare qualche pignolo che ha da ridire sull’ultimo passaggio, potete rispondere che il nostro $\nabla$ è un operatore lineare e come alle elementari vale la proprietà distributiva.

Siamo arrivati al capolinea un’altra volta, perché tanto $\nabla\cdot\vec{E}_1$ quanto $\nabla\cdot\vec{E}_2$ sono nulli nella zona che c’interessa. Ancora una volta non ci siamo.

Non ci rimane che richiamare ancora il muratore e farci prestare un tubo che piazziamo esattamente al centro delle due cariche. Le pareti del tubo faranno quello che noi non riusciamo a fare con la nostra elettrostatica. Tutte le velleità di spostarsi in alto o in basso sono bloccate e finalmente possiamo usare il campo a nostro vantaggio.

Io lo vedo un po’ un imbroglio, non so voi. E non ci rimane che continuare ad imbrogliare con qualsiasi numero di cariche vogliamo considerare.

Equilibrio stabile per un dipolo

La stabilità negli atomi

Le cariche non possono essere mantenute in posizioni fisse. Voi direte che ci facciamo? Ora forse poco, ma mi viene in mente che un ragionamento del genere ci avrebbe fatto molto comodo agli inizi del ’900 quando si parlava insistentemente di atomi, poco prima che arrivasse Rutherford.

Il grosso problema degli atomi è che sono piccoli, troppo piccoli per avere qualche riscontro diretto in maniera semplice. Al tempo si sapeva che c’erano questi elettroni, ma come si fossero organizzati nessuno lo sapeva.

Proviamo ad immaginarci la situazione, siamo tutti alla ricerca di questa struttura dell’atomo. Non sappiamo perché, ma ogni pezzo di ferro ha sempre quel tipo, proprio come l’oro, il piombo o l’ossigeno. Ed ognuno ha i suoi elettroni organizzati in qualche modo.

E’ chiaro che se ci sono cariche negative, ce ne devono essere di positive. Se proprio dobbiamo cercare d’immaginarci queste strutture per ogni elemento, si parte dal semplice no? Pensare a qualche struttura con tutte le cariche in movimento sarebbe stata una cattiveria gratuita. L’attenzione fu subito per qualche configurazione statica di cariche positive e negative.

Qui potremmo fare un bell’ingresso trionfale, perché sappiamo dimostrare che non è possibile con le sole leggi dell’elettrostatica. Gli elettroni e i protoni collasserebbero volentieri uno sull’altro. Tutto crollerebbe.

Pensate alla notorietà. Ancora una volta però siamo un po’ in ritardo, anche se stiamo migliorando. Con Newton e la gravità erano 300 anni, ora ne abbiamo accumulati solo 100! La prima idea che sembrava veramente funzionare fu quella di Thompson. Ora lui ha la sua bella pagina su Wikipedia, per aver proposto un modello a panettone. Le cariche positive secondo lui erano diffuse su tutto l’atomo e gli elettroni incastonati in posizioni fisse. Proprio come l’uvetta nel panettone.

Tutto cambiò però nel 1911, quando Rutherford fu onestamente geniale nel pensare ad un esperimento che ha sondato l’interno dell’atomo e ha scombussolato i piani a quasi tutti. Insieme a lui, avremmo potuto dire la nostra e proporre con un po’ di fantasia il modello atomico planetario. Il sistema solare lo conoscevano tutti talmente bene, che il collegamento era quasi immediato.

Nelle nostre teste, gli elettroni avevano cominciato a muoversi intorno al nucleo, zeppo di cariche positive. L’equilibrio era dinamico.

Molto affascinante non c’è che dire, ma tra un po’ potremmo dimostrare che neanche così le cose funzionano. Non siamo ancora pronti, ma quando un elettrone viene accelerato (cosa che succede in tutti i moti curvi), lui irradia energia. C’è un nuovo serbatio da riempire a discapito dell’energia cinetica, e questo non aiuta certo l’elettrone a rimanere in orbita. Ancora una volta il collasso al centro sarebbe l’unica soluzione possibile.

Spirale

Qui la questione si fa bella complicata e i problemi da risolvere tanti. Ma anche giustamente! Questo è il campo della meccanica quantistica. Per quanto astrusa possa sembrare, riesce a spiegare come fanno gli elettroni a non precipitare nel nucleo. E quindi noi ad essere vivi.

E’ una bella faticaccia questo cammino per capire un atomo, ma poi si viene a scoprire che Thompson non aveva poi tanto torto con la sua idea a panettone, solo che ad essere diffusi sono gli elettroni invece delle cariche positive! Aveva il 50% delle possibilità…peccato!