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Collana di Elettromagnetismo

Disegniamo un campo

Fino a questo momento abbiamo guardato le regole del gioco. Ora che abbiamo deciso d’iscriverci alla gara è tempo di darsi da fare.

La cosa più importante da mettere a fuoco per i campi sono i loro effetti. Non solo dobbiamo sapere “dove spinge”, ma anche “come lo fa”. Per esempio potremmo immaginarci un lavandino. Lo costruiamo per vedere se va bene?

Come si fa a vedere qualcosa che non si può vedere? Siamo molto legati alla vista, questo è un limite, ma dobbiamo accettarlo perché tra i nostri sensi è quello che più di tutti può darci la possibilità d’immaginare. Abbiamo parlato di potenziale come se fosse un terreno montuoso e con la nostra esperienza abbiamo imparato a usare le ombre e le luci per capire la tridimensionalità. L’alternativa è mettersi a camminare e vedere quando precipitiamo per un dirupo o se un muro ci si para davanti.

I grafici erano importanti per rappresentare addirittura la velocità nelle situazioni semplici, figuratevi ora che abbiamo a che fare con un qualcosa di complesso come la realtà. Va bene la matematica, ma una qualche sua rappresentazione può sempre aiutare. E del resto bisogna riconoscere una certa eleganza ai disegni che escono.

Cosa vogliamo poter vedere? Sicuramente le posizioni delle cariche, sono le nostre sorgenti ed è giusto che abbiano un posto di riguardo. Ma non basta, ciò che veramente ci interessa è focalizzare la forza che ci spingerà (sia l’intensità che la direzione, da buon vettore), sia tutte quelle zone dove nessuno verrà a disturbare. Dobbiamo poter vedere le aree dove il potenziale è costante.

In un campo a cipolla, ci serve poter distinguere i vari involucri.

Rappresentazione di sfere concentriche

Le linee di campo

A pensarci non è mica poca roba. Tre dimensioni spaziali, due informazioni del campo per avere intensità e direzione e pure la possibilità di visualizzare le superfici equipotenziali. E noi a disposizione abbiamo un misero foglio con annessa penna.

Non ci resta che fare economia. Preoccupiamoci anzitutto di buttare all’aria una dimensione. Il foglio ne ha due, il nostro mondo ne ha tre, mettersi a disegnare con i chiaroscuri, le distorsioni e le assonometrie mi sembra una cattiveria gratuita. Non siamo mica una macchinetta fotografica. Meglio fare più disegni con le dimensioni che ci possono interessare di volta in volta.

A questo punto le direzioni spaziali sono risolte, non ci rimane che trovare una tecnica per disegnare forze e superfici equiponteziali. Concentriamoci sulle prime, partendo però dalla fine. Avete presente i film americani dei superladri? Ci sono quelle scene dove devono attraversare un corridoio tempestato da un reticolo di fasci laser, tutti collegati all’allarme. Appena si mette il piede in fallo, il laser non arriva alla fotocellulla e il film finirebbe con l’arresto del protagonista. Catapultati dal lucernaio, a prima vista non si nota nulla di strano. Solo i superladri conoscono il sistema d’allarme, altrimenti perché girano tutti con un sacchetto di polverina bianca?

I nostri campi sono un po’ il sistema d’allarme, per disegnarlo dobbiamo renderlo visibile e per farlo abbiamo bisogno delle cariche spia.

Cariche spia per costruire le linee di campo

Se ci pensate questo è esattamente quello che si fa quando si cerca il campo (e se lo facciamo risolvendo le equazioni una ragione c’è). Come nella animazione, ci spostiamo e misuriamo la forza, la collezione di tutti questi test, per ogni singolo punto di tutto lo spazio è il nostro campo. Noi lo chiameremo $\vec{E}$, in realtà è un lavoro certosino di tantissime prove.

Chiaramente non possiamo infittire il nostro foglio di frecce rosse, verrebbe solo tanta confusione. Se volessimo essere veramente precisi verrebbe qualcosa di questo genere.

Campo illegibile graficamente

Le frecce sarebbero così tante che non riusciremmo neanche a distinguere dove finisce una e comincia un’altra. Dobbiamo limitarci, accontentiamoci di non prendere proprio tutti i punti: scegliamone abbastanza per farci avere un’idea, senza però peggiorare le cose. Nel caso ci dovessero servire ne possiamo aggiungere altre, tutte quelle che vogliamo. Sono infinite ok, ma disegnare un tappeto rosso non aiuterebbe nessuno, no?

Linee di campo elettrico

Così direi che va molto meglio per capire qualcosa, perlomeno per quanto riguarda le direzioni direi che ci siamo. Usando la legge di Gauss, sappiamo che le frecce partiranno dalle cariche positive e termineranno in quelle negative (oppure all’infinito se è proprio l’unica carica nell’Universo). Non ci rimane che sistemare l’intensità e le superfici equipotenziali.

L’intensità del campo

Che voi ci crediate o no, l’intensità è già sistemata.

Per come l’abbiamo pensata, nel momento in cui abbiamo deciso un certo numero di frecce, queste si spargeranno radialmente dalla nostra pallina. Siamo sicuri che non se ne creeranno altre oppure che qualcuna verrà persa durante il cammino. Con la nostra singola carica generatrice, qualsiasi “guscio di cipolla” ci mettiamo a guardare, sapremmo che il numero di frecce che lo attraversa è costante.

Perché è importante? Semplicemente perché le frecce saranno più fitte vicino alla carica e più rade man mano che si allontanano. Proprio come l’intensità! Ce la siamo trovata gratuitamente semplicemente disegnando la direzione.

Se qualcuno dovesse chiedervi perché l’intensità va proprio come la densità delle frecce, in realtà non è casuale. La legge di Gauss ci dice che fissata la carica, il guscio attraverso sfere concentriche è costante. E questo noi lo disegniamo proprio usando le nostre frecce vettori. Vi ricordate che dovevamo prendere soltanto la componente rivolta come la normale uscente alla superficie?

A voler essere più precisi, l’intensità la misuriamo guardando la densità delle frecce. Cioé quante ne abbiamo per unità di area. Il nostro campo elettrico ormai lo conosciamo bene, vale $$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

Quindi sappiamo che il suo valore decresce come $\frac{1}{r^2}$. Se lontano “1″ il campo vale “1″, quando sarà lontano “2″ il campo varrà “1/4″. E così via…

Ma anche graficamente ci siamo, perché le nostre frecce che si spargono su superfici sferiche sempre più grandi, si diradano man mano che l’area aumenta. E non è un caso che questa lo faccia proprio come $r^2$. Basta che siamo sicuri che nessuno linea si aggiunga o si disperda per poter guardare l’intensità semplicemente studiando “l’infittimento” delle frecce.

La densità di frecce decresce con l'area

Se vogliamo essere teorici, possiamo dire che il numero di frecce che partono dalla carica positiva è “proprio uguale” a $q/\varepsilon_0$. Qualsiasi cosa questo voglia dire.

Ci rimane solo un’ultima cosa da sistemare, ma a questo punto è molto facile. Le superfici equipotenziali.

Se abbiamo fatto delle linee per disegnare le frecce vettori, nulla ci vieta di scarabocchiare un altro po’ il foglio. Disegniamo le linee chiuse che rappresentano le zone con potenziale coincidente e il gioco è fatto. Per noi ora saranno dei gusci sferici, altre volte la situazione sarà più ingarbugliata, ma il concetto rimane quello.

Superfici equipotenziali

Le superfici equipotenziali

Pensiamo al nostro spazio come al foglio, la direzione del campo la sistemiamo con le frecce, la sua intensità con quanto queste sono fitte e le superfici equipotenziali tracciando semplicemente delle curve in cui sappiamo che il potenziale è costante. Magari non saremmo degli ottimi disegnatori, ma direi che il problema è risolto.

Usare le linee di campo effettivamente è una buona strategia.

Trovare le superfici equipotenziale non è neanche qualcosa di così complicato. Sappiamo in che relazione sono con le frecce del campo, e questo è molto utile. Il campo elettrico è il gradiente del potenziale, il gradiente è un vettore che ci racconta una variazione spaziale. E’ per questo che viene da sé che la direzione del campo è sempre perpendicolara alle superfici equipotenziali.

Se così non fosse, il campo sarebbe diretto “anche” lungo una superficie equipotenziale, e ciò significherebbe lì qualcosa nel potenziale sta cambiando. Cioé quella non è una superficie equipotenziale!

E’ tutto così bello? Certamente no, altrimenti la $\vec{E}$ e la $\vec{B}$ non ce li ritroveremmo praticamente ovunque. Le equazioni matematiche sarebbero sostituite da tantissimi disegni di linee che si spargono. La magagna però è ben nascosta con una carica sola, proviamo a prenderne due.

A rigor di logica abbiamo capito che vale il principio di sovrapposizione dei campi, quindi quando ne abbiamo due basterebbe prendere due disegni “singoli” e sovrapporli. Se il principio vale nelle formule deve valere anche con i disegni. E invece non siamo così fortunati.

Le linee di campo non rappresentano il principio di sovrapposizione

Cosa sarebbero gli incroci segnati in rosso? Il campo elettrico non può avere due direzioni nello stesso punto. La spinta che la carica riceve per una forza elettrica è una e una sola. Questo è palese se usiamo la $\vec{E}$, non lo è affidandoci alla geometria a cui nessuno ha insegnato la somma vettoriale. Sarebbe stato comodo effettivamente, ma dobbiamo farcene una ragione…

Ora però non scoraggiamoci e buttiamo tutto, perché queste linee di campo una loro utilità ce l’hanno. Possiamo sempre affidarci alle formule per calcolare il campo (magari con qualche computer che lo fa per noi) per poi tradurlo su carta con le linee di campo. E’ chiaro che poi ci si può sempre sbizzarrire.

Campo generato da tre cariche